Dissertations (KMA)
Permanent URI for this collection
Browse
Recent Submissions
Item Postupné vlny v kvazilineárních reakčně-difuzních rovnicích(Západočeská univerzita v Plzni, 2024) Zahradníková, MichaelaV této práci se zabýváme skalárními reakčně-difuzními rovnicemi s p-Laplaciánem v difuzním členu a různými typy spojitých reakcí. V našem obecném pojetí připouštíme, aby měl difuzní koeficient (závislý na hustotě) degenerace nebo singularity v ekvilibriích 0 a 1, jakož i konečně mnoho skokových nespojitostí mezi nimi. Za těchto předpokladů studujeme existenci a vlastnosti postupných vln, které propojují stacionární stavy 0 a 1. Zavedením nového typu zobecněného řešení transformujeme úlohu druhého řádu na reálné ose pro neznámý profil a jeho rychlost na úlohu prvního řádu na omezeném intervalu, kterou pak studujeme ve smyslu Carathéodoryho. Výsledky pro tuto úlohu prvního řádu mají samostatný význam vzhledem k jejich uplatnitelnosti i mimo rámec našich předpokladů pro úlohu druhého řádu. Uvádíme postačující podmínky pro existenci postupných vln v případě bistabilní a monostabilní reakce, které rozšiřují klasické výsledky získané za silnějších předpokladů. Klíčovou roli v existenci či neexistenci postupných vln a jejich vlastnostech přitom hraje společný vliv reakčního a difuzního členu. Za předpokladu mocninného chování těchto členů v blízkosti 0 a 1 pak studujeme, jak spolu s hodnotou p ovlivňují asymptotické vlastnosti řešení. Hlavní část této práce vychází z našich tří publikovaných článků, věnovaných studiu reakčně-difuzních rovnic bez konvekce, v nichž jsme se zabývali zvlášť stacionárními vlnami, postupnými vlnami v bistabilních rovnicích a postupnými vlnami v monostabilních rovnicích. Naše metody a výsledky prezentujeme jednotným způsobem, abychom zdůraznili jak společný základ všech zmíněných případů, tak rozdíly mezi nimi. Závěrečná kapitola je věnována úloze s konvekcí a reakčním členem vyskytujícím se v modelech spalování. Existenci a neexistenci řešení zde dokazujeme za silnějších předpokladů na reakční a difuzní členy než u rovnice bez konvekce a přímo tak zobecňujeme známé výsledky v případě difuze bez p-Laplaciánu. Náš článek na toto téma je v současné době recenzován.
Item Bifurkace v reakčně-difuzních problémech(Západočeská univerzita v Plzni, 2021) Fencl, MartinNáplní této práce je studium bifurkací v superlineárních neurčitých problémech a systémech reakce--difuze, které vykazují Turingovu difuzí řízenou nestabilitu. Při zkoumání těchto problémů využíváme metod matematické a numerické analýzy. Tato disertace je rozdělena na dvě části. V první se věnujeme již zmíněným superlineárním problémům. Jednak jde o studium globální struktury pozitivních řešení pomocí numerické kontinuace a objasnění domněnky o počtu těchto řešení. Dále se pak zabýváme superlineárním problémem s váhovou funkcí. Zde jsme se věnovali nečekaným spektrálním vlastnostem tohoto problému a jejich důsledkům na chování bifurkačních větví. V druhé části této práce shrneme naše výsledky týkající se vlivu jednostranných členů a jednostranných členů obsahujících integrální průměr v rovnici pro aktivátor u systému reakce--difuze na vznik prostorových vzorků. Ukážeme, že množina difuzních parametrů, pro které je bifurkace z konstantního řešení možná, je v takovém případě menší, než u problému bez jednostranných členů. Zároveň prozkoumáme tvorbu vzorků u problému se Schnakenbergovou kinetikou pomocí numerických experimentů pro různé jednostranné členy a okrajové podmínky. Závěrem přikládáme ve čtyřech apendixech články s výsledky, které prezentujeme v textu této disertační práce.Item Otevřenost zobrazení(Západočeská univerzita v Plzni, 2021) Roubal, TomášV práci studujeme zobecněné verze metrické regularity, například nelineární a směrová regularita. Rovněž studujeme podobné zobecnění metrické subregularity a semiregularity a odvozujeme postačují podmínky pro tyto vlastnosti v případě jednoznačných zobrazení v konečné dimenzi. Prvním cílem práce je definovat metrickou regularitu, metrickou subregularitu a metrickou semiregularity jednoznačných i mnohoznačných zobrazení. Formulujeme několik ekvivalentních vlastností a také uvedeme postačující i nutné podmínky pro jejich platnost. Dále se zabýváme stabilitou zmíněných vlastností vzhledem k jednoznačné i mnohoznačné perturbaci. Druhým cílem je poskytnout postačující podmínky pro směrovou semiregularitu a semiregularitu s vazbou jednoznačných zobrazení v konečné dimenzi založených na aproximaci lineárním zobrazením a svazkem lineárních zobrazení. Zaměříme se na výpočet modulů (semi)regularity lineárních zobrazení. Posledním cílem je zobecnit kritéria Ioffeho typu do kvazimetrických prostorů a tím získat kritéria pro nelineární a směrové verze uvedených vlastností.Item Dynamické systémy na grafech(Západočeská univerzita v Plzni, 2021) Švígler, VladimírZáměrem této práce je shrnout naše nedávné výsledky týkající se konkrétních fenoménů vyskytujících se v dynamických systémech na grafech. Soustředíme se na dynamické systémy s diskrétní a spojitou prostorovou strukturou a časem. Velký důraz klademe na jevy, které se projevují výhradně u systémů s diskrétní prostorovou strukturou narozdíl od jejich spojitých protějšků. Toto srovnání uvažujeme z pohledu možných aplikací v numerické analýze a modelování systémů, u nichž homogenizace prostoru vede k významné redukci chování. Dvěma hlavními tématy jsou evoluční hry na grafech a reakčně-difúzní rovnice. Evoluční hra na grafu je model, jenž popisuje interakce hráčů uspořádaných v nějaké dané prostorové struktuře. Každý hráč má přiřazenu strategii (spolupráce nebo nespolupráce), která je aktualizována v souladu s pravidly hry. Tento model je příkladem systému s diskrétní časovou strukturou a stavovým prostorem. Zkoumáme souvislost mezi strukturou podkladového grafu a existencí pevných bodů systému. Také ukážeme, že evoluční hra na grafu může obsahovat periodické orbity libovoné délky. Reakčně-difúzní rovnice tradičně popisují časový vývoj systémů modelujících chemické, fyzikální, biologické a další děje. Zde se zaměřujeme hlavně na periodická stacionární řešení a cestující vlny v bistabilních reakčně-difúzních rovnicích na mřížce. Mřížkové diferenciální rovnice mohou být chápány buď jako důsledek diskretizace parciálních reakčně-difúzních rovnic na reálné ose pomocí metody konečných diferencí, ale mají své opodstatnění i jako samostatné modely. Za základním model uvažujeme Nagumovu rovnici na mřížce, tj. rovnici, jejíž reakční člen je kubický polynom. Mnoho výsledků je ale platných i pro obecné bistabilní rovnice na mřížkách. Bistabilní rovnice na mřížce má na rozdíl od odpovídající parciální diferenciální rovnice nekonečné množství prostorově heterogenních stacionárních řešení. Toto chování se občas nazývá "prostorový chaos", protože počet řešení je dispropocionálně vyšší než počet uzlů (počet rovnic). V této práci ukážeme, jak lze zavést značící schéma pro periodická stacionární řešení a jak určit jejich přesný počet, pokud budeme uvažovat symetrie rovnice. Naše zkoumání cestujících vln započneme "selháním propagace", tj. situací, při které monotonní vlna necestuje. To obvykle nastává u mřížkové rovnice s malou intenzitou difúze. Obecně se uvažuje, že bohatá struktura stacionárních řešení zabraňuje monotonním vlnám v cestování. Část týkající se cestujících vln uzavřeme představením tzv. "vícebarevných vln"; nemonotonních vln spojujících dvě periodická stacionární řešení rovnice na mřížce. Tyto vlny mohou cestovat i pro kombinace parametrů, kdy monotonní vlny projevují "selhání propagace". Dále je můžeme spojovat do složitějších struktur a studovat jejich srážky. V neposlední řadě pozorujeme nemonotonní závislost rychlosti vlny na intenzitě difúze, což je kvalitativní rozdíl v chování oproti vlnám v Nagumově parciální diferenciální rovnici.Item Existence a bifurkace periodických řešení v modelech visutých mostů(Západočeská univerzita v Plzni, 2022) Janoušek, JakubTato práce si klade za cíl shrnout naše výsledky v oblasti modelování visutých mostů, konkrétně se zabývá řešitelností a bifurkacemi periodických řešení v několika vybraných modelech. Text je uspořádán chronologicky podle pořadí, ve kterém jsme se jednotlivými tématy zabývali. Nej-prve se soustředíme na jednodimenzionální model s tlumením a přinášíme revizi dosavadního výsledku týkajícího se jednoznačnosti řešení. K tomu využíváme standardních nástrojů, jako je např. Banachova věta o kontrakci, ovšem tentokrát s použitím přesnějšího geometrického zkoumání polohy vlastních čísel odpovídajícího lineárního operátoru. To nám umožnuje dosáhnout značného rozšíření intervalu přípustné tuhosti mostních lan. Dále zkoumáme model visutého mostu s prostorově proměnnou tuhostí, která přináší možnost, jak do modelu zahrnout informaci o odděleném rozložení připojení lan k mostovce. Zaměřujeme se na kvalitativní a kvantitativní vlastnosti tohoto modelu, které srovnáváme s klasickým mode-lem s konstatní tuhostí. Zjišťujeme, že pro některá nastavení tuhosti a odpovídajícího profilu rozložení lan dochází v modelu k bifurkacím periodických řešení. V neposlední řadě se také zabýváme významem Fučíkova spektra pro možnost existence tzv. blow-upů. Poté se věnujeme tématu, které přímo souvisí se zkoumáním vlivu prostorově proměnné tuhosti, a sice hledání postačujících podmínek pro (striktně) inverzní pozitivitu lineárního diferenciálního operátoru čtvrtého řádu, který odpovídá příslušné rovnici nosníku s proměnnou tuhostí. Pomocí rozšíření technik uvedených J. Schröderem v rámci teorie redukce operátorů, ukazujeme, že minima a maxima prostorově proměnné tuhosti mohou značně překročit meze stanovené dřívějšími výsledky. Závěrem poznamenejme, že tato práce je rozdělena do dvou hlavních úseků. První část slouží jako přehled a kompilace našich výsledků, uvedených v kontextu související literatury, případně předchozích výsledků v dané oblasti. Druhá část je reprezentována přílohou, která zahrnuje tři naše výzkumné články, v nichž jsou k dispozici detailnější informace a také důkazy všech našich tvrzení.Item Předpodmínění lineárních soustav získaných diskretizací Navierových-Stokesových rovnic pomocí isogeometrické analýzy(Západočeská univerzita v Plzni, 2022) Horníková, HanaTato práce se zabývá iteračním řešením sedlobodových soustav lineárních algebraických rovnic získaných diskretizací Navierových--Stokesových rovnic pro nestlačitelné proudění pomocí isogemetrické analýzy (IgA). Konkrétně se zaměřuje na předpodmiňovače pro krylovovské metody. Jedním z cílů práce je prozkoumat efektivitu moderních blokových předpodmiňovačů pro různé isogeometrické diskretizace, tj. pro B-spline bázové funkce různého stupně a spojitosti, a poskytnout přehled o jejich chování v závislosti na různých parametrech úlohy. Hlavním cílem je na základě této studie navrhnout vhodný přístup k řešení těchto soustav s případnými úpravami, které by zlepšily vlastnosti dané metody pro soustavy získané isogeometrickou analýzou. Práce má dvě části. V první části jsou představeny úlohy pro nestlačitelné vazké proudění a metoda diskretizace pomocí isogeometrické analýzy. Dále uvádíme podrobný přehled metod řešení sedlobodových soustav lineárních rovnic, ve kterém se zaměřujeme především na blokové předpodmiňovače. Druhá část je věnována numerickým experimentům. Provádíme srovnání vybraných předpodmiňovačů pro několik stacionárních a nestacionarních úloh ve dvou a třech dimenzích. Zvláštní pozornost je věnována aproximaci matice hmotnosti, jejíž volba se ukazuje být v kontextu IgA důležitá, a okrajovým podmínkám pro PCD předpodmiňovač. Navrhujeme vhodnou kombinaci varianty PCD, okrajových podmínek a jejich škálování, abychom získali efektivní předpodmiňovač, který je robustní vzhledem k stupni a spojitosti diskretizace. V mnoha případech se tato volba ukazuje jako nejefektivnější z uvažovaných metod.Item Fučíkovo spektrum diskrétního Dirichletova operátoru(Západočeská univerzita v Plzni, 2022) Sobotková, IvetaDisertační práce je zaměřena na studium Fučíkova spektra pro diskrétní operátory. Vzhledem k tomu, že obecné vyšetření Fučíkova spektra diskrétních operátorů je v dnešní době stále těžce uchopitelnou výzvou, studium v této práci je zaměřené na konkrétní operátor - Dirichletův diskrétní operátor. Tento operátor odpovídá diferenční rovnici druhého řádu s Dirichletovými okrajovými podmínkami. V disertační práci je dopodrobna vyšetřena odpovídající semilineární úloha, zaveden pojem spojitého rozšíření diskrétního řešení úlohy a hlavně je zde uveden kompletní implicitní popis Fučíkova spektra Dirichletova diskrétního operátoru. Na závěr práce jsou popsány tři typy odhadů pro Fučíkovy větve, které umožňují lokalizovat Fučíkovy větve i pro velký rozměr odpovídající matice.Item Isogeometrická analýza pro modelování nestlačitelného turbulentního proudění(Západočeská univerzita v Plzni, 2020) Turnerová, EvaTato práce se zabývá aplikací isogeometrické analýzy na úlohy nestlačitelného turbulentního proudění. Proudění newtonovské nestlačitelné tekutiny je popsané pomocí Navierových-Stokesových rovnic. Navzdory rychlému vývoji numerickým metod pro přímou numerickou simulaci (DNS - Direct Numerical Simulation) proudění, jsou středované Navierovy-Stokesovy rovnice (RANS - Reynolds-Averaged Navier-Stokes) stále základním nástrojem pro numerické řešení turbulentního proudění. Řešení konvektivně dominantních úloh obsahuje mezní vrstvy, což jsou úzké oblasti, ve kterých se prudce mění hodnota řešení. Tyto mezní vrstvy lze ovšem velmi obtížně vyřešit. Výsledným efektem je značný nárůst numerických (nefyzikálních) oscilací, které způsobují ztrátu stability a přesnosti diskrétního řešení. K redukci numerických oscilací se používají metody jejichž cílem je vylepšení stability diskrétního řešení, ale bez ztráty přesnosti. Přístupy, které byly původně navržené pro metodu konečných prvků, využíváme pro isogeometrickou diskretizaci. SUPG (streamline upwind/Petrov-Galerkin) a SOLD (spurious oscillations at layers diminishing) metody jsou standardní přístupy používané pro metody založené na spojité Galerkinově metodě. Stabilizační metody přidávají umělou vazkost, jejíž množství regulujeme vhodnou volbou stabilizačního parametru. Přestože existuje mnoho variant stabilizačních parametrů, žádná z nich není optimální pro obecnou úlohu. V této práci se věnujeme studiu vlivu různých stabilizačních parametrů na výsledné numerické řešení.Item Frakcionální modely finančních trhů se stochastickou volatilitou(Západočeská univerzita v Plzni, 2020) Sobotka, TomášHlavním přínos této kvalifikační práce spočívá v rozšíření výsledků získaných v manuskriptu Merino-Pospisil-Sobotka-Sottinen-Vives(2019) týkajících se alpha-RFSV modelu a ve shrnutí výzkumných aktivit studenta na základě publikovaných vědeckých článků.Item Paralelní víceúrovňové algebraické předpodmiňovače(Západočeská univerzita v Plzni, 2019) Fraňková, PavlaV této práci studujeme víceúrovňové předpodminovače. V úvodní části popíšeme teorii víceúrovňových metod (metod multigridu). Pak spojíme dve zajímavá témata (BPX aditivní multigrid a metodu zhlazených agregací) do nové metody. Představujeme BPX předpodminovač založený na metodě zhlazených agregací na modelové úloze. Teoretický výsledek je ověřen sérií numerických experimentů. Poslední kapitola se zabývá aplikací multigridu v modelování transportu neutronů.Item Jednoznačnost a existence řešení parabolické PDR s p-Laplaceovým operátorem a zobecněné trigonometrické a hyperbolické funkce(Západočeská univerzita v Plzni, 2018) Kotrla, LukášNáplní disertační práce je studium kvazilineárních parabolických a eliptických úloh s p-Laplaciánem popisující difuzní proces. Text je rozdělen do dvou částí. V první části se zabýváme Cauchyovou úlohou pro parabolický p-Laplacián. Zaměříme se na otázku jednoznačnost/nejednoznačnosti řešení a platnosti principu maxima. V druhé části zkoumáme eliptickou okrajovou úlohu v jedné dimenzi. Detailně se zajímáme o p-trigonometrické funkce, které se využívají v teoretickém i numerickém studiu parabolických i eliptických úloh s p-Laplaciánem.Item Geometrické modelování v průmyslových aplikacích(Západočeská univerzita v Plzni, 2018) Michálková, KristýnaTato práce se zabývá geometrickým modelováním v průmyslových aplikacích. Hlavním cílem je popsat tvar vodních turbín s pomocí moderních geometrických metod. Proto byly použity B-spline/NURBS objekty pro definici hydraulických profilů vodních turbín a dále byly navrženy geometrické parametrizace, které jsou závislé na několika proměnných parametrech (délka, šířka, výška, úhly,...). Získáme tak dynamické modely, jež můžeme následně optimalizovat s pomocí isogeometrické analýzy (IGA). Díky tomu bude zlepšena nynější metodologie designu turbín, kdy analýza proudění je provedena pro jednu konkrétní turbínu a po obdržení výsledků z CFD systému je následně manuálně pozměněn CAD model turbíny na základě zkušeností konstruktéra a to tak aby došlo ke zlepšení vybraných vlastností (např. účinnosti nebo kavitace). Proces návrhu turbíny by tedy měl být více zautomatizován. Práce je rozdělena do dvou částí. V první části se zaměříme na popis lopatek vodních turbín (koreček Peltonovy turbíny, lopatky Kaplanovy a Francisovy turbíny). Pro koreček Peltonovy turbíny je uveden nový algoritmus k sestrojení aproximační tečné plochy pro daný proměnný úhel. Lopatky Kaplanovy a Francisovy turbíny jsou sestrojeny za pomocí významných křivek: střednice a funkce tloušťky. V druhé části se zabýváme B-spline objemovou parametrizací Kaplanovy a~Francisovy turbíny pro dané hraniční B-spline plochy. Tato parametrizace je následně použita jako vstup do IGA řešiče a může se tak analyzovat proudění turbínou. Zároveň jsou uvedeny různé možnosti parametrizací, které jsou poté porovnávány na základě vyhodnocení různých vlastností parametrizace.Item Tuhost a Hamiltonovskost grafů(Západočeská univerzita v Plzni, 2018) Kabela, AdamHlavním tématem předložené práce je výzkum související s Chvátalovou hypotézou o tuhosti a Hamiltonovskosti grafů. V úvodu práce připomeneme tuto hypotézu v širším kontextu. Dále studujeme vybrané částečné výsledky a analyzujeme konstrukce, které dávají dolní meze vzhledem k této hypotéze a souvisejícím otázkám. Ve snaze o obecnější porozumění hledáme vzájemné souvislosti mezi vybranými přístupy k tomuto problému. V závěrečné kapitole navrhujeme možná pokračování ve studiu této problematiky, která vycházejí z myšlenek předložené práce. Autor práce předkládá nové výsledky související s Chvátalovou hypotézou. S použitím hypergrafové verze Hallovy věty ukážeme, že každý 10-tuhý chordální graf je Hamiltonovsky souvislý. Dále ukážeme, že k-stromy s tuhostí vyšší než k/3 jsou Hamiltonovsky souvislé pro k >= 3 (a jako důsledek dostáváme Hamiltonovskou souvislost chordálních rovinných grafů s tuhostí vyšší než 1). Zmíněná tvrzení vylepšují dříve známé výsledky Chen a spol. (1998), Broersma a spol. (2007) a Böhme a spol. (1999). Další částečný výsledek se týká takzvaných multisplit grafů, pro které ukážeme, že tuhost alespoň 2 zaručuje Hamiltonovskou souvislost. Zabýváme se také grafy, které mají speciální strukturu odvozenou od takzvaných kaktusů. Ukážeme, že otázka Hamiltonovskosti těchto grafů se dá rozhodovat pomocí Fordovy-Fulkersonovy věty o maximálním toku a minimálním řezu. Studujeme také konstrukce grafů, které mají relativně vysokou tuhost a zároveň relativně krátké nejdelší kružnice. Konkrétně konstruujeme maximální rovinné grafy, jejichž tuhost je 5/4 nebo 8/7 nebo vyšší než 1, a dále 1-tuhé chordální rovinné grafy, 1-tuhé rovinné 3-stromy a k-stromy s tuhostí vyšší než 1 pro k >= 4. Navržené konstrukce vedou k vylepšení dříve známých výsledků Harant a Owens (1995), Tkáč (1996), Böhme a spol. (1999) a Broersma a spol. (2007).Item Matematické modelování ve výuce na střední škole(Západočeská univerzita v Plzni, 2018) Vysoká, JanaHlavním záměrem práce bylo připravit návrh rozšiřujícího učebního materiálu určeného pro učitele studentů vysokých škol, kteří si zvolili vyšší matematiku jako volitelný předmět, či středoškolských studentů, kteří se matematice věnují nad rámec povinných osnov. V úvodu se zopakují důležitá témata vztahující se k pojmům posloupnost, konvergence, limita, Lipschitzovská podmínka, derivace, parciální derivace a integrál. Dalším cílem jsou následující témata: stručná charakteristika principů matematického modelování, seznámení se se základními pojmy teorie chaosu v dynamických systémech, řešení jednoduchých úloh pomocí iteračních metod. V další části práce se provede souhrn tří pohledů na řešení jednoduché dopravní úlohy představené v podobě parciální diferenciální rovnice s počátečními podmínkami a to makroskopický přístup v podobě řešení úloh metodou charakteristik, mikroskopický pohled s využitím software AnyLogic a konečně numerické řešení daného problému pomocí vybraných numerických metod. V závěru bude provedeno grafické srovnání výsledků.Item Navier- Stokesovy rovnice a související problémy(Západočeská univerzita v Plzni, 2017) Caggio, Matteo; Nečasová, ŠárkaDisertační práce je věnována studiu matematických problémů Navierových - Stokesových rovnic v kontextu rigorózního matematického odvození modelů a jejich matematické analýzy. Zejména je práce zaměřena na problematiku singulárních limit v mechanice tekutin pro stlačitelné tekutiny (režim malého Machova čísla, velkého Reynoldsova čísla, redukce dimenze) a problematice regularity pro nestlačitelné tekutiny.Item Podmínky kompaktnosti ve variačních metodách(Západočeská univerzita v Plzni, 2017) Jirásek, Pavel; Tomiczek, PetrTato disertační práce se zabývá studiem variačních metod a především podmínek kompaktnosti v nich používaných. Metody jsou demonstrovány na okrajových úlohách pro eliptické rovnice.Item Numerická schémata pro rovnice vazkého stlačitelného proudění: Analýza a geometrie(Západočeská univerzita v Plzni, 2017) Hošek, Radim; Feireisl EduardTato disertační práce obsahuje komentovaný soubor vědeckých článků s výsledky v oblasti analýzy numerických schémat pro modely vazkých stlačitelných tekutin. Tyto jsou založeny především na průkopnickém výsledku Karpera, který dokázal konvergenci numerických řešení ke slabému řešení stlačitelných Navierových- Stokesových rovnic, jež popisují dynamiku tekutiny v takzvaném barotropním režimu. Tyto vědecké články jsou rozděleny do dvou skupin, první z nich obsahuje výsledky z numerické analýzy, ta druhá potom výsledky z oblasti geometrie sítí, na nichž jsou metody de finovány. První z těchto výsledků obsahuje návrh nové numerické metody pro barotropní tekutinu založenou na konečných diferencích a hlavní část jejího konvergenčního důkazu. Další dokazuje konvergenci zobecněné varianty Karperovy metody pro úplný systém, který zahrnuje i bilanci teploty. V posledním článku jsou odvozeny chybové odhady pro původní Karperovu metodu. Výše zmíněné numerické metody mají speciální požadavky na geometrické vlastnosti využitých sítí. Druhá skupina výsledků obsahuje dva články týkající se existence právě takových tříd sítí, které splňují požadované vlastnosti. Tyto výsledky jsou doplněny článkem na téma simplexových sítí v obecné dimenzi. Motivací pro tento výsledek je společný jmenovatel dvou předchozích, a sice konstrukce publikovaná Sommervillem v roce 1923.Item Aplikace duálních kvaternionů na vybrané problémy(Západočeská univerzita v Plzni, 2017) Prošková, Jitka; Lávička, MiroslavV posledních letech se studium kvaternionů stalo aktivní oblastí výzkumu aplikované geometrie díky své schopnosti jednoduše a elegantně reprezentovat rotační pohyb. Díky této vlastnosti jsou kvaterniony často využívány zejména v oblasti počítačové grafiky, inverzní kinematiky nebo také fyziky. Mimo to, je duální kvaternion také chápán jako uspořádaná dvojice kvaternionů. Duální kvaterniony jsou především vhodné pro popis přímé shodnosti, tj. složení rotace a posunutí. Tato struktura se stává tedy velmi efektivním nástrojem při řešení matematických problémů, vzniklých například v kinematice, bioinformatice nebo geodézii, tj. vždy, když je zkoumán pohyb tuhého tělesa definovaný jako spojitá množina posunutí. Hlavním cílem předkládané práce je poskytnout teoretické poznatky a praktické použití duálních kvaternionů na vybraných problémech, které vznikají v geometrickém modelování a dalších vědách nebo různých odvětví technické praxe. Speciálně se zaměřujeme na problémy, které jsou obvykle řešené pomocí kvaternionů a ukazují, že aplikace duálních kvaternionů dokáže zjednodušit navrhované přístupy a hlavně jim dát stejný základ. V první části práce připomeneme fundamentální teorii kvaternionové algebry a schopnost kvaternionů popsat trojrozměrnou rotaci. Dále pokračujeme duálními čísly. Kvaterniony a duální čísla se používají při zavedení duálních kvaternionů. Následně jsou představeny některé základní pojmy vztažené k duálním kvaternionům. Duální kvaterniony ve srovnání s kvaterniony, které dokáží reprezentovat rotaci, nám dokáží nabídnout, vzhledem k jejich schopnosti reprezentovat rotace a posunutí, širší využití. V druhé části práce se budeme zabývat praktickým využitím duálních kvaternionů. Nejdříve se zaměříme na jeden z náročných problémů geodezie, tj. Burša-Wolf transformační model. Je zde představena a popsána nová matematická metoda založena na duálních kvaternionech. Dalším zajímavým problémem, který je zde podrobně zkoumán, je problém zaměřující se na strukturální biologii, tj. popis proteinové struktury. Použijeme metodu SrewFit, která popisuje sekundární proteinovou strukturu, a vylepšíme ji s pomocí duálních kvaternionů. Poslední část této práce je věnována úpravě Hermitovské interpolace racionálními spline pohyby. Funkčnost navržené metody je ilustrována na několika příkladech.Item Parciální dynamické rovnice na diskrétních prostorových oblastech(Západočeská univerzita v Plzni, 2017) Volek, Jonáš; Stehlík, PetrTato disertace prezentuje naše výsledky týkající se parciálních dynamických rovnic na oblastech s diskrétní prostorovou proměnnou (tzv. mřížkách). Tyto problémy slouží k modelování procesů probíhajících v prostorově strukturovaném prostředí (např. buňkách, krystalových mřížkách, elektronických obrázcích). Proto studujeme parciální rovnice s diskrétní prostorovou proměnnou a časovou proměnnou uvažujeme buď spojitou, diskrétní nebo z obecné časové škály. Práce je rozdělena do dvou částí. První část disertace lze vnímat jako komentář s historickými souvislostmi. Popisujeme zde nejen historii diferenčních a diferenciálních rovnic, ale i modelování procesů, které lze popsat parciálními dynamickými rovnicemi na oblastech s diskrétní prostorovou proměnnou. Odvozujeme zákony zachování a následně vysvětlujeme, jak z nich vznikají transportní a difúzní rovnice. Poté představujeme teoretické výsledky, které se zabývají transportní rovnicí. V lineárním případě odvozujeme explicitní řešení a pro nelineární rovnici dokazujeme rozličné vlastnosti (např. principy maxima, globální existenční věty). Poté se zabýváme reakčně-difúzní rovnicí na mřížkách, pro kterou studujeme podobné teoretické vlastnosti. Diskutujeme také otázky týkající se implicitní diskretizace reakčně-difúzní rovnice. Na závěr, abychom byli schopni studovat stacionární řešení, dokazujeme existenci pro diskrétní okrajové úlohy. Druhá část práce se skládá ze šesti publikací. Tyto články jsou přiloženy v originální podobě a obsahují všechny technické detaily pro zainteresovaného čtenáře.Item Chromatická teorie grafů(Západočeská univerzita v Plzni, 2017) Petříčková, Šárka; Kaiser, TomášCílem této práce je studium několika problémů v oblasti barvení grafů. V úvodu nejprve ukážeme, že teorie barvení grafů nabízí užitečné nástroje pro modelování široké škály problémů z praxe. Dále seznámíme čtenáře se základní terminologií a stěžejními výsledky v oblasti chromatické teorie grafů. Hlavní část disertační práce je rozdělena do čtyř kapitol podle následujících témat: Online Ramseyova teorie, Barevnost racionálních mocnin grafů, Seznamová barevnost mocnin grafů, a Herní barevnost. V každé z těchto kapitol představíme daný problém, uvedeme známé a nové výsledky, a navrhneme několik otevřených problémů. Publikace výsledků prvních třech kapitol jsou přiloženy na konci práce. Výsledky uvedené a dokázané v poslední kapitole nebyly publikovány.
