Existence a bifurkace periodických řešení v modelech visutých mostů

Abstract

Tato práce si klade za cíl shrnout naše výsledky v oblasti modelování visutých mostů, konkrétně se zabývá řešitelností a bifurkacemi periodických řešení v několika vybraných modelech. Text je uspořádán chronologicky podle pořadí, ve kterém jsme se jednotlivými tématy zabývali. Nej-prve se soustředíme na jednodimenzionální model s tlumením a přinášíme revizi dosavadního výsledku týkajícího se jednoznačnosti řešení. K tomu využíváme standardních nástrojů, jako je např. Banachova věta o kontrakci, ovšem tentokrát s použitím přesnějšího geometrického zkoumání polohy vlastních čísel odpovídajícího lineárního operátoru. To nám umožnuje dosáhnout značného rozšíření intervalu přípustné tuhosti mostních lan. Dále zkoumáme model visutého mostu s prostorově proměnnou tuhostí, která přináší možnost, jak do modelu zahrnout informaci o odděleném rozložení připojení lan k mostovce. Zaměřujeme se na kvalitativní a kvantitativní vlastnosti tohoto modelu, které srovnáváme s klasickým mode-lem s konstatní tuhostí. Zjišťujeme, že pro některá nastavení tuhosti a odpovídajícího profilu rozložení lan dochází v modelu k bifurkacím periodických řešení. V neposlední řadě se také zabýváme významem Fučíkova spektra pro možnost existence tzv. blow-upů. Poté se věnujeme tématu, které přímo souvisí se zkoumáním vlivu prostorově proměnné tuhosti, a sice hledání postačujících podmínek pro (striktně) inverzní pozitivitu lineárního diferenciálního operátoru čtvrtého řádu, který odpovídá příslušné rovnici nosníku s proměnnou tuhostí. Pomocí rozšíření technik uvedených J. Schröderem v rámci teorie redukce operátorů, ukazujeme, že minima a maxima prostorově proměnné tuhosti mohou značně překročit meze stanovené dřívějšími výsledky. Závěrem poznamenejme, že tato práce je rozdělena do dvou hlavních úseků. První část slouží jako přehled a kompilace našich výsledků, uvedených v kontextu související literatury, případně předchozích výsledků v dané oblasti. Druhá část je reprezentována přílohou, která zahrnuje tři naše výzkumné články, v nichž jsou k dispozici detailnější informace a také důkazy všech našich tvrzení.