Parciální dynamické rovnice na diskrétních prostorových oblastech

Abstract

Tato disertace prezentuje naše výsledky týkající se parciálních dynamických rovnic na oblastech s diskrétní prostorovou proměnnou (tzv. mřížkách). Tyto problémy slouží k modelování procesů probíhajících v prostorově strukturovaném prostředí (např. buňkách, krystalových mřížkách, elektronických obrázcích). Proto studujeme parciální rovnice s diskrétní prostorovou proměnnou a časovou proměnnou uvažujeme buď spojitou, diskrétní nebo z obecné časové škály.

Práce je rozdělena do dvou částí. První část disertace lze vnímat jako komentář s historickými souvislostmi. Popisujeme zde nejen historii diferenčních a diferenciálních rovnic, ale i modelování procesů, které lze popsat parciálními dynamickými rovnicemi na oblastech s diskrétní prostorovou proměnnou. Odvozujeme zákony zachování a následně vysvětlujeme, jak z nich vznikají transportní a difúzní rovnice. Poté představujeme teoretické výsledky, které se zabývají transportní rovnicí. V lineárním případě odvozujeme explicitní řešení a pro nelineární rovnici dokazujeme rozličné vlastnosti (např. principy maxima, globální existenční věty). Poté se zabýváme reakčně-difúzní rovnicí na mřížkách, pro kterou studujeme podobné teoretické vlastnosti. Diskutujeme také otázky týkající se implicitní diskretizace reakčně-difúzní rovnice. Na závěr, abychom byli schopni studovat stacionární řešení, dokazujeme existenci pro diskrétní okrajové úlohy.

Druhá část práce se skládá ze šesti publikací. Tyto články jsou přiloženy v originální podobě a obsahují všechny technické detaily pro zainteresovaného čtenáře.