Aplikace duálních kvaternionů na vybrané problémy

Abstract

V posledních letech se studium kvaternionů stalo aktivní oblastí výzkumu aplikované geometrie díky své schopnosti jednoduše a elegantně reprezentovat rotační pohyb. Díky této vlastnosti jsou kvaterniony často využívány zejména v oblasti počítačové grafiky, inverzní kinematiky nebo také fyziky. Mimo to, je duální kvaternion také chápán jako uspořádaná dvojice kvaternionů. Duální kvaterniony jsou především vhodné pro popis přímé shodnosti, tj. složení rotace a posunutí. Tato struktura se stává tedy velmi efektivním nástrojem při řešení matematických problémů, vzniklých například v kinematice, bioinformatice nebo geodézii, tj. vždy, když je zkoumán pohyb tuhého tělesa definovaný jako spojitá množina posunutí.

Hlavním cílem předkládané práce je poskytnout teoretické poznatky a praktické použití duálních kvaternionů na vybraných problémech, které vznikají v geometrickém modelování a dalších vědách nebo různých odvětví technické praxe. Speciálně se zaměřujeme na problémy, které jsou obvykle řešené pomocí kvaternionů a ukazují, že aplikace duálních kvaternionů dokáže zjednodušit navrhované přístupy a hlavně jim dát stejný základ.

V první části práce připomeneme fundamentální teorii kvaternionové algebry a schopnost kvaternionů popsat trojrozměrnou rotaci. Dále pokračujeme duálními čísly. Kvaterniony a duální čísla se používají při zavedení duálních kvaternionů. Následně jsou představeny některé základní pojmy vztažené k duálním kvaternionům. Duální kvaterniony ve srovnání s kvaterniony, které dokáží reprezentovat rotaci, nám dokáží nabídnout, vzhledem k jejich schopnosti reprezentovat rotace a posunutí, širší využití.

V druhé části práce se budeme zabývat praktickým využitím duálních kvaternionů. Nejdříve se zaměříme na jeden z náročných problémů geodezie, tj. Burša-Wolf transformační model. Je zde představena a popsána nová matematická metoda založena na duálních kvaternionech. Dalším zajímavým problémem, který je zde podrobně zkoumán, je problém zaměřující se na strukturální biologii, tj. popis proteinové struktury. Použijeme metodu SrewFit, která popisuje sekundární proteinovou strukturu, a vylepšíme ji s pomocí duálních kvaternionů. Poslední část této práce je věnována úpravě Hermitovské interpolace racionálními spline pohyby. Funkčnost navržené metody je ilustrována na několika příkladech.