Bifurkace v reakčně-difuzních problémech

Abstract

Náplní této práce je studium bifurkací v superlineárních neurčitých problémech a systémech reakce--difuze, které vykazují Turingovu difuzí řízenou nestabilitu. Při zkoumání těchto problémů využíváme metod matematické a numerické analýzy.

Tato disertace je rozdělena na dvě části. V první se věnujeme již zmíněným superlineárním problémům. Jednak jde o studium globální struktury pozitivních řešení pomocí numerické kontinuace a objasnění domněnky o počtu těchto řešení. Dále se pak zabýváme superlineárním problémem s váhovou funkcí. Zde jsme se věnovali nečekaným spektrálním vlastnostem tohoto problému a jejich důsledkům na chování bifurkačních větví. V druhé části této práce shrneme naše výsledky týkající se vlivu jednostranných členů a jednostranných členů obsahujících integrální průměr v rovnici pro aktivátor u systému reakce--difuze na vznik prostorových vzorků. Ukážeme, že množina difuzních parametrů, pro které je bifurkace z konstantního řešení možná, je v takovém případě menší, než u problému bez jednostranných členů. Zároveň prozkoumáme tvorbu vzorků u problému se Schnakenbergovou kinetikou pomocí numerických experimentů pro různé jednostranné členy a okrajové podmínky.

Závěrem přikládáme ve čtyřech apendixech články s výsledky, které prezentujeme v textu této disertační práce.