Postupné vlny v kvazilineárních reakčně-difuzních rovnicích

Abstract

V této práci se zabýváme skalárními reakčně-difuzními rovnicemi s p-Laplaciánem v difuzním členu a různými typy spojitých reakcí. V našem obecném pojetí připouštíme, aby měl difuzní koeficient (závislý na hustotě) degenerace nebo singularity v ekvilibriích 0 a 1, jakož i konečně mnoho skokových nespojitostí mezi nimi. Za těchto předpokladů studujeme existenci a vlastnosti postupných vln, které propojují stacionární stavy 0 a 1. Zavedením nového typu zobecněného řešení transformujeme úlohu druhého řádu na reálné ose pro neznámý profil a jeho rychlost na úlohu prvního řádu na omezeném intervalu, kterou pak studujeme ve smyslu Carathéodoryho. Výsledky pro tuto úlohu prvního řádu mají samostatný význam vzhledem k jejich uplatnitelnosti i mimo rámec našich předpokladů pro úlohu druhého řádu. Uvádíme postačující podmínky pro existenci postupných vln v případě bistabilní a monostabilní reakce, které rozšiřují klasické výsledky získané za silnějších předpokladů. Klíčovou roli v existenci či neexistenci postupných vln a jejich vlastnostech přitom hraje společný vliv reakčního a difuzního členu. Za předpokladu mocninného chování těchto členů v blízkosti 0 a 1 pak studujeme, jak spolu s hodnotou p ovlivňují asymptotické vlastnosti řešení. Hlavní část této práce vychází z našich tří publikovaných článků, věnovaných studiu reakčně-difuzních rovnic bez konvekce, v nichž jsme se zabývali zvlášť stacionárními vlnami, postupnými vlnami v bistabilních rovnicích a postupnými vlnami v monostabilních rovnicích. Naše metody a výsledky prezentujeme jednotným způsobem, abychom zdůraznili jak společný základ všech zmíněných případů, tak rozdíly mezi nimi. Závěrečná kapitola je věnována úloze s konvekcí a reakčním členem vyskytujícím se v modelech spalování. Existenci a neexistenci řešení zde dokazujeme za silnějších předpokladů na reakční a difuzní členy než u rovnice bez konvekce a přímo tak zobecňujeme známé výsledky v případě difuze bez p-Laplaciánu. Náš článek na toto téma je v současné době recenzován.