Rigorous theses (KMA)
Permanent URI for this collection
Browse
Recent Submissions
Item Postupné vlny v asymetricky podepřeném nosníku(Západočeská univerzita v Plzni, 2023) Levá, HanaV tomto textu se zaměříme na nelineární parciální diferenciální rovnici čtvrtého řádu, která může sloužit jako model asymetricky podepřeného nosníku či jako zobecněný model visutého mostu. Předkládáme shrnutí již existujících výsledků pro související úlohy. K důkazu existence řešení ve tvaru postupné vlny je použit variační přístup, konkrétně věta Mountain Pass Theorem společně s nenulovou slabou konvergencí po vhodné translaci. Ukazujeme, že takové řešení existuje za předpokladů značně oslabených oproti těm dosud využívaným v literatuře. Na druhou stranu se zdá, že připuštěním funkcí zachovávajících znaménko dochází k omezení možných hodnot vlnové rychlosti. Na závěr předkládáme numerické experimenty prováděné za účelem nalezení konkrétního tvaru klasického řešení.
Item Systems with concave-convex nonlinearities: existence and multiplicity of solutions(Západočeská univerzita v Plzni, 2023) Kudláč, MartinTato práce se zabývá okrajovou úlohou pro systém dvou obyčejných diferenciálních rovnic druhého řádu s konkávními a konvexními nelinearitami a Dirichletovými okrajovými podmínkami. Jedna z rovnic obsahuje kladný parametr $\lambda$. Cílem práce je vyšetřit existenci a násobnost netriviálních řešení úlohy na základě hodnot parametru $\lambda$. Práce nejprve prezentuje výsledky numerických experimentů, díky nimž čtenář získá představu o chování zadaného systému. Stěžejním výsledkem této části je bifurkační diagram, který vykresluje závislost počtu netriviálních řešení na hodnotách parametru $\lambda$. Ve zbytku práce jsou pak poznatky získané z numerických experimentů dokazovány analyticky. K získání výsledků je použita alternativní formulace úlohy pomocí jedné obyčejné diferenciální rovnice čtvrtého řádu s Navierovými okrajovými podmínkami. Pomocí variačních metod je nalezen omezený interval pro parametr $\lambda$ tak, aby úloha měla s jistotou alespoň dvě různá netriviální řešení. V závěru práce jsou získané analytické výsledky porovnány s výsledky numerických experimentů.Item Postupné vlny pro bistabilní a monostabilní Fisher-Kolmogorovu rovnici s nespojitou difuzí závislou na hustotě(Západočeská univerzita v Plzni, 2022) Zahradníková, MichaelaNáplní práce je studium postupných vln pro zobecněnou Fisher-Kolmogorovu rovnici s nespojitou difuzí závislou na hustotě, která může degenerovat nebo mít singularity v bodech ekvilibrií. Reakční člen uvažujeme bistabilní nebo monostabilní a jedná se o spojitou, obecně nelipschitzovskou funkci. V práci prezentujeme naše nedávno získané výsledky týkající se existence, jednoznačnosti a asymptotického chování postupných a stojatých vln pro bistabilní případ. Očekávané výsledky pro monostabilní případ jsou zahrnuty v podobě otevřených problémů, které jsou předmětem našeho současného výzkumu. Originalita výsledků této práce spočívá především v tom, že difuzní koeficient může mít nespojitosti prvního druhu v konečném počtu bodů a může degenerovat nebo mít singularity v bodech ekvilibrií. Ukazujeme, jak je druhé ze zmíněných zobecnění difuzního koeficientu kompenzováno tím, jak rychle se anuluje reakční člen v těchto ekvilibriích. Dalším přínosem práce je skutečnost, že jak vyvážený a nevyvážený bistabilní, tak monostabilní případ jsou zpracovány jednotným a poměrně obecným způsobem založeným na Carathéodoryho teorii obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu.Item Fučíkovo spektrum Laplaceova operátoru s integrální okrajovou podmínkou a jeho parametrizace(Západočeská univerzita v Plzni, 2020) Hamáček, MartinTato práce se zabývá úlohou na vlastní čísla a Fučíkovým spektrem radiálně symetrického Laplaceova operátoru s nelokální (integrální) okrajovou podmínkou v obecné dimenzi $ n $. Nejdříve vyšetříme úlohu na vlastní čísla a odvodíme první větev Fučíkova spektra. Hlavní částí této práce je však regulární parametrizace celého Fučíkova spektra ve třetí dimenzi.Item Thomassenova hypotéza a související problémy(Západočeská univerzita v Plzni, 2019) Vrána, PetrV této práci zkoumáme různé verze Thomassenovy hypotézy, která říká, že každý $4$-souvislý hranový graf je hamiltonovský. Ukazujeme známé pozitivní výsledky dávající částečná řešení Thomassenovy hypotézy i známá vyvrácení silnějších hypotéz.Item Tuhost a Hamiltonovskost grafů(Západočeská univerzita v Plzni, 2019) Kabela, AdamHlavním tématem předložené práce je výzkum související s Chvátalovou hypotézou o tuhosti a Hamiltonovskosti grafů. V úvodu práce připomeneme tuto hypotézu v širším kontextu. Dále studujeme vybrané částečné výsledky a analyzujeme konstrukce, které dávají dolní meze vzhledem k této hypotéze a souvisejícím otázkám. Ve snaze o obecnější porozumění hledáme vzájemné souvislosti mezi vybranými přístupy k tomuto problému. V závěrečné kapitole navrhujeme možná pokračování ve studiu této problematiky, která vycházejí z myšlenek předložené práce. Autor práce předkládá nové výsledky související s Chvátalovou hypotézou. S použitím hypergrafové verze Hallovy věty ukážeme, že každý 10-tuhý chordální graf je Hamiltonovsky souvislý. Dále ukážeme, že k-stromy s tuhostí vyšší než k/3 jsou Hamiltonovsky souvislé pro k >= 3 (a jako důsledek dostáváme Hamiltonovskou souvislost chordálních rovinných grafů s tuhostí vyšší než 1). Zmíněná tvrzení vylepšují dříve známé výsledky Chen a spol. (1998), Broersma a spol. (2007) a Böhme a spol. (1999). Další částečný výsledek se týká takzvaných multisplit grafů, pro které ukážeme, že tuhost alespoň 2 zaručuje Hamiltonovskou souvislost. Zabýváme se také grafy, které mají speciální strukturu odvozenou od takzvaných kaktusů. Ukážeme, že otázka Hamiltonovskosti těchto grafů se dá rozhodovat pomocí Fordovy-Fulkersonovy věty o maximálním toku a minimálním řezu. Studujeme také konstrukce grafů, které mají relativně vysokou tuhost a zároveň relativně krátké nejdelší kružnice. Konkrétně konstruujeme maximální rovinné grafy, jejichž tuhost je 5/4 nebo 8/7 nebo vyšší než 1, a dále 1-tuhé chordální rovinné grafy, 1-tuhé rovinné 3-stromy a k-stromy s tuhostí vyšší než 1 pro k >= 4. Navržené konstrukce vedou k vylepšení dříve známých výsledků Harant a Owens (1995), Tkáč (1996), Böhme a spol. (1999) a Broersma a spol. (2007).Item Regularita zobrazení(Západočeská univerzita v Plzni, 2018) Roubal, TomášV této práci jsme si vzali za úkol shrnout základní teorii o regularitě zobrazení a metodách Newtonově typu pro řešení (zobecněnýc) rovnic. Kapitola 1 je rozdělena do dvou podkapitol. První podkapitola obsahuje motivaci pro studium regularity zobrazení skrze řešitelnost rovnic/inkluzí při malé perturbaci pravé strany. Dále jsme ukázali, že nutnou podmínku pro (lokální) minimum/maximum lze odvodit negací postačujících podmínek regularity. V druhé podkapitole se definujeme metrickou regularitu, metrickou subregularitu a metrickou semiregularitu. Také je zde uvedeno několik ekvivalentních vlastností. Kapitola 2 je rozdělena do čtyř podkapitol. První kapitola obsahuje stručný historický vývoj kritérií metrické regularity, metrické subregularity a semiregularity. Další kapitoly obsahují kritéria každé z těchto vlastnosti. Kapitola 3 je zaměřena na metody Newtonova typu a je rozdělena do pěti podkapitol. První podkapitola obsahuje stručný historický vývoj Newtonovy metody. Druhá podkapitola je zaměrena na věty o lokální konvergenci a třetí obsahuje věty typu Dennis-Moré. Ve čtvrté kapitole najdeme věty o semilokální konvergenci, které jsou zobecnění Bartleho věty. Všechny tyto výsledky jsou založeny na vlastnostech regularity zobrazení. V poslední podkapitole jsou metody Newtonova typu aplikovány na problém nehladkých nerovnic.Item Aplikace duálních kvaternionů na vybrané problémy(Západočeská univerzita v Plzni, 2018) Prošková, JitkaV posledních letech se studium kvaternionů stalo aktivní oblastí výzkumu aplikované geometrie díky své schopnosti jednoduše a elegantně reprezentovat rotační pohyb. Díky této vlastnosti jsou kvaterniony často využívány zejména v oblasti počítačové grafiky, inverzní kinematiky nebo také fyziky. Mimo to, je duální kvaternion také chápán jako uspořádaná dvojice kvaternionů. Duální kvaterniony jsou především vhodné pro popis přímé shodnosti, tj. složení rotace a posunutí. Tato struktura se stává tedy velmi efektivním nástrojem při řešení matematických problémů, vzniklých například v kinematice, bioinformatice nebo geodézii, tj. vždy, když je zkoumán pohyb tuhého tělesa definovaný jako spojitá množina posunutí. Hlavním cílem předkládané práce je poskytnout teoretické poznatky a praktické použití duálních kvaternionů na vybraných problémech, které vznikají v geometrickém modelování a dalších vědách nebo různých odvětví technické praxe. Speciálně se zaměřujeme na problémy, které jsou obvykle řešené pomocí kvaternionů a ukazují, že aplikace duálních kvaternionů dokáže zjednodušit navrhované přístupy a hlavně jim dát stejný základ. V první části práce připomeneme fundamentální teorii kvaternionové algebry a schopnost kvaternion°u popsat trojrozměrnou rotaci. Dále pokračujeme duálními čísly. Kvaterniony a duální čísla se používají při zavedení duálních kvaternionů. Následně jsou představeny některé základní pojmy vztažené k duálním kvaternionům. Duální kvaterniony ve srovnání s kvaterniony, které dokáží reprezentovat rotaci, nám dokáží nabídnout, vzhledem k jejich schopnosti reprezentovat rotace a posunutí, širší využití. V druhé části práce se budeme zabývat praktickým využitím duálních kvaternionů. Nejdříve se zaměříme na jeden z náročných problémů geodezie, tj. Burša-Wolf transformační model. Je zde představena a popsána nová matematická metoda založená na duálních kvaternionech. Dalším zajímavým problémem, který je zde podrobně zkoumán, je problém zaměřující se na strukturální biologii, tj. popis proteinové struktury. Použijeme metodu SrewFit, která popisuje sekundární proteinovou strukturu, a vylepšíme ji s pomocí duálních kvaternionů. Poslední část této práce je věnována úpravě Hermitovské interpolace racionálními spline pohyby. Funkčnost navržené metody je ilustrována na několika příkladech.Item Kvalitativní studium úloh pro eliptické (příp. i parabolické) rovnice s daty obsahujícími míru a/nebo šum - řešitelnost, bifurkace, aproximace řešení(Západočeská univerzita v Plzni, 2017) Švígler, VladimírPráce se zabývá řešitelností semilineárních eliptických parciálních diferenciálních rovnic v resonanci s mírou na pravé straně. Řešení uvažujeme ve velmi slabém smyslu (tedy řešení z prostoru L^1(D)). Kokrétně předpokádáme, že D je omezená oblast v R^N s hranicí třídy C^2, nelineární člen g je spojitá funkce s omezeným růstem (g je omezená nebo má sublineární růst) a zdrojový člen je omezená Radonova míra. Podle autorova nejlepšího vědomí, originálními výsledky práce jsou důkazy řešitelnosti lineární verze problému mimo resonanci v dimenzi N=2, Fredholmovy alternativy pro Laplaceův operátor s homogeními Dirichletovými okrajovými podmínkami ve velmi slabém smyslu a řešitelnosti semilineárního problém mimo a v resonanci. Poslední výsledek byl dosažen díky formulování Landesman-Lazerových podmínek pro zdrojový člen - Radonovu míru na pravé straně.Item Konstrukce racionálních přechodových kanálových a prstencových ploch(Západočeská univerzita v Plzni, 2014) Bizzarri, Michaltéto práci studujeme racionální techniky vhodné pro výpočet přesných/přibližných parametrizací kanálových a prstencových ploch. V první části práce se soustředíme na implicitně zadané kanálové plochy navržený přístup je založen na výpočtu přibližné parametrizace tak zvaných obrysových křivek na zadané kanálové ploše. Tato metoda může být přímo aplikována na praktické problémy parametrizace implicitních přechodových ploch sestávajících z částí kanálových (nebo přibližně kanálových) ploch. V druhé části práce studujeme podmínku zajišťující racionalitu obrysových křivek na kanálových plochách zadaných pomocí střední osy a poloměrové funkce. Tyto křivky jsou poté použity k výpočtu racionální parametrizace kanálových ploch s pythagorejskými normálami. Použití obrysových křivek v algoritmu parametrizace dovoluje v jednom kroku zkonstruovat celou třídu racionálních kanálových (přechodových) ploch, což je speciálně výhodné pro konstruování přechodových ploch splňujících jistá omezení, např. pokud je požadováno, aby se daná plocha vyhnula překážkám. Poslední část této práce je věnována racionálním prstencovým plochám, pomocí nichž je navržena metoda konstrukce přechodových ploch mezi dvěma prstencovými plochami. Tato metoda může být použita pro konstrukci přechodových ploch, které se mají vyhnout jistým překážkám nebo pro konstrukci přechodových ploch mezi několika prstencovými plochami.Item Od zobecnění bistabilní rovnice ke sledům na cestě(Západočeská univerzita v Plzni, 2014) Hošek, RadimDiplomová práce se zabývá bistabilní rovnicí $u_t = \varepsilon^2 u_{xx} -F'(u)$, pomocí níž lze modelovat dynamiku skupenské přeměny za určité kritické teploty. Vychází z poznatků publikovaných Drábkem a Robinsonem (Pavel Drábek a Stephen B. Robinson: Continua of local minimizers in a non-smooth model of phase transition, 2011), které vysvětlují fenomén pomalé dynamiky. V úvodní kapitole jsou představeny některé známé výsledky, na něž se v~dalších kapitolách navazuje a které se rozvíjí. V kapitole druhé se práce oprostí od fyzikálně motivovaného případu potenciálu se dvěma zdroji a rozkrývá chování modelu i pro potenciály vícezdrojové. Pro popis stacionárních řešení modelu je použito diagramu řešení (v závislosti na parametrech), jehož vlastnosti jsou zkoumány v kapitole třetí. Čtvrtá kapitola potom otevírá problematiku nehladkých potenciálů, které umožňují vznik variet řešení. Výsledek, známý pro nehladký dvouzdrojový potenciál, je zobecňován pro další typy potenciálů. K určování počtu variet stacionárních řešení je formulována ekvivalentní úloha počítání sledů na lineárních grafech (cestách). Rozsáhlá kapitola 5 je věnována rozboru tohoto grafového problému, přičemž odhaluje zajímavá propojení různých oborů matematiky, právě od teorie grafů a kombinatoriky až k teorii aproximací. Shrnutí originálních výsledků v kapitole 6 pak uzavírá celou práci.Item Robustní přiřazení pólů stavovou a výstupní zpětnou vazbou(Západočeská univerzita v Plzni, 2014) Königsmarková, JanaAutor požádal o uznání diplomové práce za práci rigorózní. Anotace diplomové práce: Tato diplomová práce se zabývá problémem robustní stabilizace stavovou a výstupní zpětnou vazbou. Chceme nalézt nejlepší zpětnou vazbu, která bude uzavřenému systému přiřazovat požadovanou Jordanovu formu a pro níž bude uzavřený systém dostatečně robustní nebo která nebude křehká. Seznámíme se s algoritmy na výpočet reálného a komplexního poloměru stability a využijeme je dále jako hlavní kriteriální funkce při optimalizaci vlastností uzavřeného systému. Tyto funkce spolu s přístupem pro výpočet explicitní parametrizace slouží jako základ optimalizace. Dále navrhujeme nový algoritmus na výpočet robustního přiřazení Jordanovy formy výstupní zpětnou vazbou. Součástí práce je vytvoření knihovny funkcí v softwaru Matlab, pomocí které budeme moci řešit příklady z uvedené problematiky.Item Parciální diferenciální rovnice na semidiskrétních oblastech(Západočeská univerzita v Plzni, 2013) Volek, JonášAutor požádal o uznání diplomové práce za práci rigorózní. Anotace diplomové práce: Diplomová práce se zabývá transportní rovnicí na semidiskrétních oblastech. V první části se věnujeme lineární rovnici, kde nejdříve představíme základní vlastnosti klasické transportní parciální diferenciální rovnice, potom zkoumáme semidiskrétní případ s diskrétním prostorem a spojitým časem a poté opačný problém s diskrétním časem a spojitým prostorem. Nakonec studujeme transportní diferenční rovnici. U těchto lineárních úloh se zaměříme na zachování znaménka, sumy a integrálu a jejich souvislosti v teorii pravděpodobnosti. Dále se zde věnujeme periodicitě řešení a směru šíření extrémů. V druhé části analyzujeme nelineární semidiskrétní transportní rovnici s diskrétním prostorem a spojitým časem. Zde zkoumáme existenci a jednoznačnost řešení a odvozujeme principy maxima a minima s jejich důsledky.Item Hestonův model stochastické volatility(Západočeská univerzita v Plzni, 2013) Mrázek, MilanTématem práce je Hestonův model. Jedna část práce se zabývá procesem kalibrace. Komplexnost tohoto procesu je ilustrována na uměle vytvořených datech. Model je poté kalibrován na data z reálného trhu za použití kombinace lokálních a globálních optimalizátorů pro dva po sobě jdoucí dny. Druhá část práce se zabývá schématy pro Monte Carlo simulace. Jsou představena doposud známá schémata log-Euler, Milstein, QE, Exact schéma, IJK schéma a navrženo schéma kombinující Milstein schéma s aproximací Exact schématu. Test schémat je proveden s parametry, které vysvětlují ceny na trhu a zároveň je zachován i rozsah opcí z trhu.Item Algebraická analýza konvolucí nadploch(Západočeská univerzita v Plzni, 2012) Vršek, JanV posledních letech se studium konvolucí nadploch (zejména křivek a ploch) stalo aktivní oblastí výzkumu. Například operace ofsetu, tj. jedna z fundamentálních vlastností v počítačově podporovaném designu (CAD) není nic jiného než konvoluce s kružnicí/kulovou plochou. Hlavním cílem předkládané práce je poskytnout teoretickou analýzu konvolucí nadploch z algebraického úhlu pohledu. Té bude věnována zejména první část práce. Přestože dokážeme, že konvoluce ireducibilních nadploch je téměř vždy ireducibilní, může se v některých případech rozpadnout na více komponent. Horní odhad jejich počtu nalezneme s využitím tzv. konvolučního stupně. Pro ten bude v případě křivek odvozena formule, vyjadřující konvoluční stupeň v závislosti na algebraickém stupni a rodu křivky. Detailní analýze budou podrobeny speciální a degenerované komponenty. Dále věnujeme speciální pozornost racionálním nadplochám a racionálním komponentám jejich konvolucí. V druhé části práce se zaměříme na dvě nejjednodušší třídy algebraických nadploch vzhledem k operaci konvoluce, konkrétně na nadplochy s konvolučním stupněm jedna a dva. Zatímco první jmenovaná třída se ukáže být totožná s~již známou třídou LN~nadploch, významným zástupcem druhé třídy jsou nadsféry. Racionalita konvolucí s těmito nadplochami bude detailně prozkoumána. Navíc pro křivky odvodíme formuli umožňující vypočítat rod jejich konvoluce s obecnou křivkou. Závěrem bude nalezen rozklad křivek nízkého konvolučního stupně na konvoluci konečně mnoha jednoduchých fundamentálních křivek.Item Metody parametrizace algebraických variet(Západočeská univerzita v Plzni, 2012) Byrtus, MarekDisertační práce se zabývá speciálními interpolačními technikami rovinných (zadané body s tečnými vektory) a prostorových (čtyřúhelníková síť? bodů s normálovými vektory) geometrických dat. V první teoretické části práce se věnujeme Hermitově interpolaci rovinnou kubikou s Pythagorejským hodografem (PH). Práce opravuje a rozšiřuje výsledky z článku Waltona a Meeka a popisuje všechna vstupní Hermitovská data, pro které existuje PH kubický interpolant. Navíc je provedena analýza počtu a kvality (zda-li daný interpolant obsahuje samoprůnik či ne) řešení pro vstupní data. Vzhledem k tomu, že libovolná G^1 Hermitova data není možné interpolovat pouze jedním PH interpolantem, je v práci dokázáno, že libovolná vstupní G^1 data je možné vždy interpolovat dvěmi částmi PH kubiky a že těchto dvojic interpolantů existuje pro daná vstupní data nekonečně mnoho. Dále se práce zabývá C^1 Hermitovou interpolací PH kubikami a podobně jako u G^1 interpolace, libovolná C^1 data je možné interpolovat pomocí dvou oblouků PH kubiky. V závěru první části je ukázán postup, jak nalézt všechna čtyři možná řešení a je provedena diskuze ohledn" kvality každého interpolantu, tj. výskytu samoprůniku. Druhá teoretická část práce se zabývá novou G^n interpolační metodou -- Bubble plátování -- na čtyřúhelníkových sítích s asociovanými normálovými vektory. Metoda je založena na lokální konstrukci a lze ji použít pro vrcholy libovolné valence. Pro každý čtyřúhelník v síti je konstruován takový plát, že je se sousedními pláty napojen v G^n spojitosti. Konstrukce každého dílčího plátu je založena na Gordon-Coonsově interpolaci a výsledný plát má racionální popis. Pro G^0, G^1 a G^2 plochy je konstrukce popsána detailněji a odpovídající spojitost je ověřena pomocí tzv. metody ``reflection lines''.
