Od zobecnění bistabilní rovnice ke sledům na cestě

Abstract

Diplomová práce se zabývá bistabilní rovnicí $u_t = \varepsilon^2 u_{xx} -F'(u)$, pomocí níž lze modelovat dynamiku skupenské přeměny za určité kritické teploty. Vychází z poznatků publikovaných Drábkem a Robinsonem (Pavel Drábek a Stephen B. Robinson: Continua of local minimizers in a non-smooth model of phase transition, 2011), které vysvětlují fenomén pomalé dynamiky. V úvodní kapitole jsou představeny některé známé výsledky, na něž se v~dalších kapitolách navazuje a které se rozvíjí. V kapitole druhé se práce oprostí od fyzikálně motivovaného případu potenciálu se dvěma zdroji a rozkrývá chování modelu i pro potenciály vícezdrojové. Pro popis stacionárních řešení modelu je použito diagramu řešení (v závislosti na parametrech), jehož vlastnosti jsou zkoumány v kapitole třetí. Čtvrtá kapitola potom otevírá problematiku nehladkých potenciálů, které umožňují vznik variet řešení. Výsledek, známý pro nehladký dvouzdrojový potenciál, je zobecňován pro další typy potenciálů. K určování počtu variet stacionárních řešení je formulována ekvivalentní úloha počítání sledů na lineárních grafech (cestách). Rozsáhlá kapitola 5 je věnována rozboru tohoto grafového problému, přičemž odhaluje zajímavá propojení různých oborů matematiky, právě od teorie grafů a kombinatoriky až k teorii aproximací. Shrnutí originálních výsledků v kapitole 6 pak uzavírá celou práci.