Postupné vlny pro bistabilní a monostabilní Fisher-Kolmogorovu rovnici s nespojitou difuzí závislou na hustotě

Abstract

Náplní práce je studium postupných vln pro zobecněnou Fisher-Kolmogorovu rovnici s nespojitou difuzí závislou na hustotě, která může degenerovat nebo mít singularity v bodech ekvilibrií. Reakční člen uvažujeme bistabilní nebo monostabilní a jedná se o spojitou, obecně nelipschitzovskou funkci. V práci prezentujeme naše nedávno získané výsledky týkající se existence, jednoznačnosti a asymptotického chování postupných a stojatých vln pro bistabilní případ. Očekávané výsledky pro monostabilní případ jsou zahrnuty v podobě otevřených problémů, které jsou předmětem našeho současného výzkumu. Originalita výsledků této práce spočívá především v tom, že difuzní koeficient může mít nespojitosti prvního druhu v konečném počtu bodů a může degenerovat nebo mít singularity v bodech ekvilibrií. Ukazujeme, jak je druhé ze zmíněných zobecnění difuzního koeficientu kompenzováno tím, jak rychle se anuluje reakční člen v těchto ekvilibriích. Dalším přínosem práce je skutečnost, že jak vyvážený a nevyvážený bistabilní, tak monostabilní případ jsou zpracovány jednotným a poměrně obecným způsobem založeným na Carathéodoryho teorii obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu.