Systems with concave-convex nonlinearities: existence and multiplicity of solutions

Abstract

Tato práce se zabývá okrajovou úlohou pro systém dvou obyčejných diferenciálních rovnic druhého řádu s konkávními a konvexními nelinearitami a Dirichletovými okrajovými podmínkami. Jedna z rovnic obsahuje kladný parametr $\lambda$. Cílem práce je vyšetřit existenci a násobnost netriviálních řešení úlohy na základě hodnot parametru $\lambda$. Práce nejprve prezentuje výsledky numerických experimentů, díky nimž čtenář získá představu o chování zadaného systému. Stěžejním výsledkem této části je bifurkační diagram, který vykresluje závislost počtu netriviálních řešení na hodnotách parametru $\lambda$. Ve zbytku práce jsou pak poznatky získané z numerických experimentů dokazovány analyticky. K získání výsledků je použita alternativní formulace úlohy pomocí jedné obyčejné diferenciální rovnice čtvrtého řádu s Navierovými okrajovými podmínkami. Pomocí variačních metod je nalezen omezený interval pro parametr $\lambda$ tak, aby úloha měla s jistotou alespoň dvě různá netriviální řešení. V závěru práce jsou získané analytické výsledky porovnány s výsledky numerických experimentů.