Metody parametrizace algebraických variet

Abstract

Disertační práce se zabývá speciálními interpolačními technikami rovinných (zadané body s tečnými vektory) a prostorových (čtyřúhelníková síť? bodů s normálovými vektory) geometrických dat. V první teoretické části práce se věnujeme Hermitově interpolaci rovinnou kubikou s Pythagorejským hodografem (PH). Práce opravuje a rozšiřuje výsledky z článku Waltona a Meeka a popisuje všechna vstupní Hermitovská data, pro které existuje PH kubický interpolant. Navíc je provedena analýza počtu a kvality (zda-li daný interpolant obsahuje samoprůnik či ne) řešení pro vstupní data. Vzhledem k tomu, že libovolná G^1 Hermitova data není možné interpolovat pouze jedním PH interpolantem, je v práci dokázáno, že libovolná vstupní G^1 data je možné vždy interpolovat dvěmi částmi PH kubiky a že těchto dvojic interpolantů existuje pro daná vstupní data nekonečně mnoho. Dále se práce zabývá C^1 Hermitovou interpolací PH kubikami a podobně jako u G^1 interpolace, libovolná C^1 data je možné interpolovat pomocí dvou oblouků PH kubiky. V závěru první části je ukázán postup, jak nalézt všechna čtyři možná řešení a je provedena diskuze ohledn" kvality každého interpolantu, tj. výskytu samoprůniku. Druhá teoretická část práce se zabývá novou G^n interpolační metodou -- Bubble plátování -- na čtyřúhelníkových sítích s asociovanými normálovými vektory. Metoda je založena na lokální konstrukci a lze ji použít pro vrcholy libovolné valence. Pro každý čtyřúhelník v síti je konstruován takový plát, že je se sousedními pláty napojen v G^n spojitosti. Konstrukce každého dílčího plátu je založena na Gordon-Coonsově interpolaci a výsledný plát má racionální popis. Pro G^0, G^1 a G^2 plochy je konstrukce popsána detailněji a odpovídající spojitost je ověřena pomocí tzv. metody ``reflection lines''.