Násobnost kritických bodů funkcionálů se sedlovou geometrií

Abstract

Studujeme násobnost kritických bodů spojitě diferencovatelných funkcionálů na reálných Banachových prostorech. Ukazujeme, že funckionál, který splňuje předpoklady Věty o sedlovém bodě a navíc je omezený zdola, má nejméně tři kritické body. V tomto případě zřejmě existuje globální minimizér a sedlový bod a my dokazujeme existenci třetího kritického bodu. Idea důkazu je založena na toku ve směru největšího spádu. Náš výsledek je příbuzný větě o třech kritických bodů H. Brezise a L. Nirenberga, která předpokládá tzv. "local linking". Nakonec náš výsledek aplikujeme na Dirichletovu úlohu pro semilineární stacionární parciální diferenciální rovnice. Analýza zahrnuje např. studium existence a násobnosti stacionárních řešení bistabilní (Allen-Cahnovy) rovnice a tzv. semipositonní problémy.