Discrete advection–diffusion equations on graphs: Maximum principle and finite volumes

Abstract

Studujeme počáteční úlohu pro explicitní a implicitní diferenční advekčně-difúzní rovnice na grafech. Zabýváme se jak konečnými, tak nekonečnými grafy. Analyzujeme existenci a jednoznačnost řešení. Ukazujeme zajímavý fakt, že implicitní problémy na nekonečných grafech mají obecně nekonečně mnoho řešení, jako je to tomu podobně u parciálních difúzních rovnic a rovnic na mřížkách v případě nekonečné prostorové oblasti. Hlavní část článku je věnována principům maxima. Nejdříve odvozujeme diskrétní princip maxima pro rovnice na grafech. Následně ukazujeme, že numerická schémata obdržená metodou konečných objemů pro advekčně-difúzní PDR v jakékoli dimenzi mohou být přeformulovány jako rovnice na grafech. Touto souvislostí končně obdržíme principy maxima pro odpovídající numerická řešení.