Star Edge-Coloring of Square Grids

Abstract

Hvězdové hranové barvení grafu G je přípustné hranové obarvení bez bichromatických cest a kružnic délek 4. Nejmenší přirozené číslo k takové, že pro graf G existuje hvězdové hranové obarvení pomocí k barev, se nazývá hvězdový chromatický index grafu G. V úvodním článku na toto téma se Dvořák, Mohar a Šámal ptali, zda-li je hvězdový chromatický index úplných grafů lineární vůči řádu grafu a dokázali téměř lineární horní mez. Jejich otázka zůstala otevřena; pro lepší pochopení chování hvězdového chromatického indexu byl tento parametr zkoumán i pro řadu dalších tříd grafů. V tomto článku uvažujeme hvězdové hranové barvení čtvercových sítí, konkrétně kartézského součinu kružnic a cest, a rovněž kart. součinu dvou kružnic. Vylepšujeme dříve dosažené meze a, jako hlavní výsledek, dokazujeme, že hvězdový chromatický index v obou zmíněných třídách je 6 nebo 7 s výjimkou prisem. Navíc, pro mnoho uvažovaných grafů stanovujeme přesné hodnoty tohoto parametru.