On ranges of non-linear operators

Abstract

Jsou odvozeny podmínky zaručující, že obor hodnot spojitého zobrazení definovaného na kompaktní konvexní množině obsahuje předem danou množinu. Ve Fréchetových prostorech uvažujeme aproximace jedním zobrazením, jehož inverzní zobrazení má konvexní hodnoty nebo má spojitou selekci. Posléze v Banachových prostorech a prostorech konečné dimenze uvažujeme aproximace určené konvexní množinou spojitých lineárních operátorů. Ukazujeme, že tento přístup je velmi užitečný a umožňuje jednotný popis různých, ne nutně lokálních, vlastností otevřenosti pro obecně nehladká zobrazení. V prostorech konečné dimenze prezentujeme postačující podmínky pro směrovou otevřenost s lineárním řádem s omezeními, metrickou a silnou metrickou regularitu. Tyto podmínky pokrývají, sjednocují a zobecňují například Pourciauovu větu o otevřeném zobrazení, Clarkeovu větu o inverzní a implicitní funkci a jejich zobecnění odvozená V. Jeyakumarem a D.T. Lucem za použití konceptu shora polospojitého neomezeného pesudo-jakobiánu nebo A. Neumaierem za použití intervalového rozšíření derivace hladkého zobrazení. Na konec odvozujeme podmínky zaručující, že nelineární obraz kompaktní konvexní podmnožiny obsahuje předepsaný uspořádaný interval, což vede na aplikace v oblasti bezpečnosti elektrické přenosové soustavy, např. předcházení tzv. blackoutu.