Znovuobnovení hamiltonovského tématu v druhé mocnině bloku: případ DT-grafů

Abstract

Druhá mocnina grafu G, značí se G^2, je graf, který získáme z G spojením hranou každé dva nesousední vrcholy se společným sousedem. Graf G má F_k vlastnost, jestliže pro každou množinu k různých vrcholů {x_1,x_2,...,x_k} v G existuje hamiltonovská cesta z x_1 do x_2 v G^2 obsahující k-2 různých hran G tvaru x_i z_i, i=3,...,k. V [7] bylo dokázáno, že každý 2-souvislý graf má F_3 vlastnost. V první části této práce rozšíříme tento výsledek dokázáním, že každý 2-souvislý DT-graf má F_4 vlastnost (Věta 2), a ukážeme v druhé části, že toto rozšíření platí i pro libovolné 2-souvislé grafy a neexistují 2-souvislé grafy s F_k vlastností pro každé přirozené k>=5. Celkově je zodpovězen problém zmíněný v [4].