Postupné vlny v asymetricky podepřeném vibrujícím nosníku

Abstract

Tato disertační práce se zabývá okrajovou úlohou pro nelineární parciální diferenciální rovnici čtvrtého řádu na celé reálné ose, která může sloužit jako matematický model nesymetricky podepřeného vibrujícího nosníku, zobecněný model visutého mostu nebo model ploché lodě. Předkládáme současný stav poznání u zkoumaného tématu a zobecnění dosud studovaných úloh. Konkrétně se zabýváme úlohou se skákající nelinearitou a zaměříme se na existenci a počet řešení ve tvaru postupné vlny. Výrazně zeslabujeme předpoklady na nelineární člen v porovnání s těmi dosud používanými v literatuře. Přítomnost členu se zápornou částí řešení v rovnici však vede k omezení možných hodnot vlnových rychlostí.<br>Ke stanovení postačující podmínky pro existenci řešení ve tvaru postupné vlny jsou použity variační metody, konkrétně věta Mountain Pass Theorem společně s nenulovou slabou konvergencí po vhodné translaci. Tato podmínka je popsána intervalem přípustných vlnových rychlostí v závislosti na vstupních parametrech problému. Dále představujeme maximální interval pro vlnové rychlosti, pro něž existuje řešení ve tvaru postupné vlny a který lze získat pomocí věty Mountain Pass Theorem. Uvádíme také úzkou souvislost dolní meze tohoto intervalu se souvisejícími Dirichletovými okrajovými úlohami a jejich Fučíkovými spektry. Přesnou hodnotu dolní meze intervalu vlnových rychlostí není snadné vypočítat, proto věnujeme jednu kapitolu několika analytickým aproximacím hlavního existenčního výsledku.<br>Mimo to se věnujeme speciálnímu typu řešení ve tvaru postupných vln, v angličtině nazvaných "one-troughed waves". Díky po částech lineárnímu členu v rovnici lze taková řešení popsat analyticky. Provádíme několik numerických experimentů, abychom získali množiny parametrů, které určují konkrétní řešení. Dále ukazujeme, že pro určité vlnové rychlosti a vstupní parametry existují alespoň dvě různé postupné vlny typu one-troughed. Uvádíme také horní meze pro maximální počet těchto vln pro pevnou rychlost vlnění spolu s vizualizací našich výsledků.