Adaptivní hybridizovaná nespojitá Galerkinova metoda pro řešení nestacionárních problémů proudění stlačitelných tekutin

Abstract

V této práci je představen řešič vysokého řádu přesnosti pro časově závislé zákony zachování obecného tvaru, založený na hybridizované nespojité Galerkinově metodě (HDG) a rozšířený o anizotropní adaptaci výpočetní sítě v čase. Simulace nestacionárních problémů s nízkou numerickou chybou představuje v oblasti výpočetní dynamiky tekutin stále významnou výzvu, a to zejména v případech, kdy se v čase vyvíjejí lokální struktury jako jsou rázové vlny či mezní vrstvy. Tradiční metody nízkého řádu přesnosti nebo výpočty na statických výpočetních sítích často vedou k nepřijatelně vysokým výpočetním nákladům nebo degradaci numerického řešení, čímž vzniká potřeba vývoje pokročilých adaptivních metod vyššího řádu.<br>Vyvíjený řešič využívá implicitní metody časové diskretizace vyššího řádu (vícekrokové nebo Rungeovy--Kuttovy metody), které umožňují efektivně řešit tzv. numericky tuhé algebrodiferenciální soustavy rovnic vznikající při prostorové diskretizaci pomocí HDG. K časové integraci je přidružena anizotropní adaptace výpočetní sítě, která průběžně upravuje její rozlišení tak, aby dokázala přesně zachytit měnící se proudová pole, a zároveň minimalizovala výpočetní náročnost. Adaptace sítě v čase umožňuje cílené zjemnění v oblastech s vysokými gradienty či nespojitostmi a omezuje nadbytečné zjemnění sítě tam, kde je řešení hladké. Při přenosu řešení mezi jednotlivými sítěmi v průběhu adaptace je použita konzervativní metoda založená na Galerkinově projekci. Tento postup zachovává klíčové integrální veličiny (hmotnost, hybnost, energii) a zároveň udržuje vysokou přesnost řešení, čímž zajišťuje, že změna sítě nevede k degradaci výsledků v následujících časových krocích. Součástí metody je také robustní přístup pro zachycení rázových vln a jiných typů nespojitostí. Ten kombinuje senzor detekující skokové změny v řešení s lokální aplikací umělé viskozity, která účinně tlumí nežádoucí oscilace v blízkosti nespojitostí a zároveň nenarušuje vysoký řád přesnosti v hladkých oblastech.<br>Původní přínosy této práce zahrnují vývoj jednotného adaptivního HDG řešiče s časově závislou anizotropní adaptací sítě a algoritmu pro konzervativní přenos řešení vysokého řádu přesnosti mezi anizotropními výpočetními sítěmi, který zvyšuje robustnost výpočtu v případech proudění s přítomností rázových vln. Výsledný HDG řešič umožňuje zahájit výpočet na hrubé počáteční síti a následně, díky anizotropní adaptaci, průběžně poskytuje přesné a stabilní řešení i v případě komplexních nestacionárních úloh proudění tekutin. Vlastnosti a výhody navrženého přístupu jsou demonstrovány na testovacích úlohách. Výsledky potvrzují, že navrhované a implementované metody zachycují nestacionární jevy s výrazně vyšší efektivitou ve srovnání s tradičními přístupy využívající statickou síť po celou dobu výpočtu.