Colouring defect of strong snarks

Abstract

A strong snark is a 2-connected cubic graph which is not 3-edge-colourable and remains so after deleting any edge and suppressing the resulting 2-valent vertices. Strong snarks were introduced by Jaeger in 1985 as a class of cubic graphs that might include counterexamples to the cycle double cover conjecture, the 5-flow conjecture, or to other related longstanding conjectures. With these conjectures still widely open, strong snarks merit further investigation. In this paper we study colouring defect of strong snarks, an invariant introduced by Steffen in 2015 as the minimum number of edges of a cubic graph left uncovered by any set of three perfect matchings. This invariant provides one of measures of edge uncolourability of cubic graphs recently studied by several authors. Our main result shows that the colouring defect of a strong snark is at least 6, and that the bound is sharp.

Silný snark je 2-souvislý kubický graf, který není 3-hranově obarvitelný a zůstane jím i po odstranění jakékoli hrany a potlačení výsledných 2-valentních vrcholů. Silné snarky byly zavedeny Jaegerem v roce 1985 jako třída kubických grafů, která by mohla zahrnovat protipříklady k hypotéze o cyklickém dvojitém pokrytí, hypotéze o 5-tocích nebo k jiným souvisejícím otevřeným hypotézám. Vzhledem k tomu, že tyto hypotézy jsou stále otevřené, silné snarky si zaslouží další zkoumání. V tomto článku studujeme defekt barvení silných snarků, invariant zavedený Steffenem v roce 2015 jako minimální počet hran kubického grafu, které zůstanou nepokryté jakoukoli sadou tří úplných párování. Tento invariant poskytuje jedno z měřítků neobarvitelnosti hran kubických grafů, které nedávno studovalo několik autorů. Náš hlavní výsledek ukazuje, že defekt barvení silného snarku je alespoň 6 a že hranice je ostrá.