Fučík spectrum for discrete systems: curves and their tangent lines

Abstract

In this paper, we study the Fučík spectrum of a square matrix A and provide necessary and sufficient conditions for the existence of Fučík curves emanating from the point (λ, λ) with λ being a real eigenvalue of A. We extend recent results by Maroncelli (2024) and remove his assumptions on symmetry of A and simplicity of λ. We show that the number of Fučík curves can significantly exceed the multiplicity of λ and determine all the possible directions they can emanate in. We also treat the situation when the algebraic multiplicity of λ is greater than the geometric one and show that in such a case the Fučík curves can lose their smoothness and provide the slopes of their ‘one-sided tangent lines’. Finally, we offer two possible generalizations for the follow-up research: the situation off the diagonal and the Fučík spectrum of a general Fredholm operator on the Hilbert space with a lattice structure.

V tomto článku studujeme Fučíkovo spektrum čtvercové matice A a uvádíme nutné a postačující podmínky pro existenci Fučíkových křivek vycházejících z bodu (λ,λ), kde λ je reálné vlastní číslo matice A. Rozšiřujeme nedávné výsledky Maroncelliho (2024) a odstraňujeme jeho předpoklady o symetrii matice A a jednoduchosti vlastního čísla λ. Ukazujeme, že počet Fučíkových křivek může výrazně převyšovat násobnost vlastního čísla λ, a určujeme všechny možné směry, ve kterých mohou tyto křivky vycházet. Zabýváme se také situací, kdy je algebraická násobnost vlastního čísla λ větší než jeho geometrická násobnost, a ukazujeme, že v takovém případě mohou Fučíkovy křivky ztratit svou hladkost, přičemž určujeme směrnice jejich „jednostranných tečen“. Nakonec navrhujeme dvě možná zobecnění pro další výzkum: studium situace mimo diagonálu a Fučíkovo spektrum obecného Fredholmovského operátoru na Hilbertově prostoru s laticiální strukturou.