Short cycle covers and the colouring defect of a cubic graph

Abstract

A longstanding conjecture of Alon and Tarsi, and indepentry Jaeger (1985), suggests that the edges of every bridgeless graph can be covered with cycles of total length at most 7/5 •m, where m is the number of edges. We study the relationship between cycle covers and structural properties of cubic graphs, focusing on their colouring defect. This invariant, introduced by Steffen in 2015, is defined as the minimum number of edges left uncovered by any set of three perfect matchings of a cubic graph. We show that every bridgeless cubic graph with colouring defect not exceeding 3 admits a cycle cover of length at most 4/3 •m + 1, just one step above the universal lower bound of 4/3 •m for all cubic graphs. We also prove that, regardless of defect, the same bound holds for bridgeless cubic graphs that have an edge whose end vertices removed yield a 3-edge-colourable graph and the edge lies on a 5-cycle. Motivated by our investigations, we introduce a new invariant for cubic graphs, their covering excess, to measure the deviation of the length of a shortest cycle cover from the mentioned lower bound. Finally, we show that every bridgeless cubic graph with covering excess at most 1 admits a cycle double cover.

Dlouholetá hypotéza Alona a Tarsiho a nezávislého Jaegera (1985) naznačuje, že hrany každého bezmůstkového grafu lze pokrýt cykly o celkové délce maximálně 7/5 •m, kde m je počet hran. Studujeme vztah mezi cyklickými kryty a strukturálními vlastnostmi kubických grafů se zaměřením na jejich barevnou vadu. Tato invariantní vlastnost, zavedená Steffenem v roce 2015, je definována jako minimální počet hran, které zůstanou nepokryté po jakékoli sadě tří dokonalých párování kubického grafu. Ukazujeme, že každý bezmůstkový kubický graf s barevnou vadou nepřesahující 3 připouští cyklické krytí o délce maximálně 4/3 •m + 1, jen jeden krok nad univerzální dolní hranicí 4/3 •m pro všechny kubické grafy. Také dokazujeme, že bez ohledu na vadu platí stejná hranice pro bezmůstkové kubické grafy, které mají hranu, jejíž odstranění koncových vrcholů vede k 3hranně obarvitelnému grafu a hrana leží na 5-cyklu. Na základě našich výzkumů zavádíme nový invariant pro kubické grafy, jejich exces krytí, pro měření odchylky délky nejkratšího cyklického krytí od zmíněné dolní hranice. Nakonec ukazujeme, že každý kubický graf bez můstku s excesem krytí nejvýše 1 připouští cyklické dvojité krytí.