A Quest for Simple and Unified Proofs in Regularity Theory: Perturbation Stability

Abstract

Ioffe’s criterion and various reformulations of it have become a standard tool in proving theorems guaranteeing metric regularity of a (set-valued) mapping. First, we demonstrate that one should always use directly the so-called general criterion which follows, for example, from Ekeland’s variational principle, and that there is no need to make a detour through the slope-based consequences of this general statement. Second, we argue that when proving perturbation stability results, in the spirit of Lyusternik-Graves theorem, there is no need to employ the concept of a lower semicontinuous envelope even in the case of an incomplete target space. The gist is to use the “correct” function to which Ekeland’s variational principle is applied; namely, the distance function to the graph of the set-valued mapping under consideration. This approach originates in the notion of graphical regularity introduced by L. Thibault, which is equivalent to the property of metric regularity. Our criteria cover also both metric subregularity and metric semiregularity, which are weaker properties obtained by fixing one of the points in the definition of metric regularity.

Ioffeho kritérium a jeho různá zobecnění jsou v současné době standartním nástrojem pro důkazy metrické regularity, obecně mnohoznačných, zobrazení. Nejprve ukážeme, že tento nástroj, vyplývající například z Ekelandova variačního principu, by měl být vždy metodou první volby a není nutné odvozovat postačující podmínky založené na svazích. Dále ukážeme, že v případě perturbační stability, ve smyslu Lyusternikovy-Gravesovy věty, není nutné pracovat se zdola polospojitými obálkami a to ani v případě neúplného cílového prostoru. Klíčem je aplikace Ekelandova variačního principu na „správnou“ funkci; tj. distanční funkci generovanou grafem příslušného mnohoznačného zobrazení. Tento přístup pochází z pojmu grafové regularity definované L. Thibaultem, která je ekvivalentní s klasickou definicí metrické regularity. Odvozené podmínky zahrnují i obě slabší vlastnosti, metrickou subregularitu a metrickou regularitu, které dostáváme zafixováním jednoho z bodů v definici metrické regularity.