Distanční barvení grafů

Abstract

Vrcholové 2-distanční barvení grafu G je zobrazení f: V(G) -> N, pro které platí, že f(u) je různé od f(v) pro každé u,v z V(G) s dist_G(u,v) <= 2. Hodnotu f(u) nazýváme barvou vrcholu u. Nejmenší počet barev nutných k 2-distančnímu obarvení grafu G nazýváme 2-distanční chromatické číslo grafu a značíme chi^2(G).

Cílem této bakalářské práce je vytvořit ucelený přehled dosud známých výsledků ohledně 2-distančního barvení grafů, zejména rovinných. Do přehledu zahrneme i seznamové 2-distanční barvení. Pro seznamové 2-distanční chromatické číslo, značíme chi^2_l(G), totiž platí chi^2_l(G) >= chi^2 (G). Tedy je-li dokázána nějaká horní mez pro seznamové 2-distanční chromatické číslo, potom tato mez jistě platí také pro 2-distanční chromatické číslo. Výsledky přehledně rozdělíme do kapitol na základě dvou kritérií. Jedním z kritérií je určení horní meze 2-distančního chromatického čísla a seznamového 2-distančního chromatického čísla. Druhým kritériem je rovnost 2-distančního chromatického čísla nebo seznamového 2-distančního chromatického čísla nejmenší možné hodnotě, tedy číslu Delta(G) + 1.

V druhé části bakalářské práce se už věnujeme výhradně 2-distančnímu barvení zobecněných Petersenových grafů. Nejprve se zabýváme zobecněnými Petersenovy grafy s malým počtem vrcholů. Pro každý takový graf určíme hodnotu 2-distančního chromatického čísla, navrhneme vhodné 2-distanční obarvení grafu G a doplníme obrázkem. Na základě těchto poznatků zformulujeme a poté dokážeme tvrzení, která určují hodnotu 2-distančního chromatického čísla zobecněných Petersenových grafů s libovolně velkým počtem vrcholů, které splňují určitou podmínku.