Smíšené metody v problémech nelineární elasticity velkých distorzí

Abstract

Analýza velkých elastických deformací materiálů s vlastnostmi podobných gumě je moderní disciplínou v mnoha odvětvích výzkumu, jako například v biomechanice aktivních polymerů či nematických elastomerů (funkční biomateriály a implantáty). Co se týče biomechaniky problém spočívá v pokusu o sestavení matematicko-fyzikálních modelů pomocí nichž je možný popis fyziologického chování živých tkání od pokožky a svalu až ke tvrdým strukturám jako je chrupavka či kost. Biomechanická analýza a její validace skrze experimentální pokusy in vivo a in vitro může být pomocnou metodou neinvazivních lékařských diagnóz, plánování chirurgických zákroků či navrhování speciálních protéz. V našem případě jsme se především zabývali vývojem matematického modelu kontrakce srdeční tkáně založeného na představě aktivních distorzí. Následovně byla provedena programová implementace s cílem provést sérii numerických výpočtů. Ve druhém kroku bylo nezbytné vyřešit rozlišné numerické problémy, jako konvergence, efekt locking, regularita řešení či vhodné využití výpočetních zdrojů. Předkládaná práce je zaměřena na analýzu porovnání různých numerických schémat aplikovaných na testovací příklad, aby jednotlivá obdržená řešení mohla být snadno konfrontována. Konkrétně jsou formulovány tři numerické metody: kompatibilní, smíšená a de Veubeke-Hu-Washizu (dVHW) formulace. Hlavním studovaným problémem v textu práce jsou nechtěné oscilace, které vznikají v oblasti nespojitosti distorze materiálu. Cílem zkoumání je ukázat, jak použitím dVHW metody najít řešení omezující tyto oscilace. Pro vylepšení kvality řešení mohou být voleny dva hlavní směry: obměna numerického schématu nebo přizpůsobení formy výpočetní sítě. Na dvoudimenzionálním testovacím případě je ukázáno, že dVHW metoda může vykazovat lepší výsledky nežli původní smíšená metoda. Problém optimalizace sítě za účelem lepší aproximace řešení lze analyzovat v jednodimenzionálním příkladě pomocí něhož je také určena numerická chyba řešení nabízených integračních schémat.