Efficient Spectral Differentiation in Grid-Based Continuous State Estimation

Abstract

This paper deals with the state estimation of stochastic models with continuous dynamics. The aim is to incorporate spectral differentiation methods into the solution to the Fokker-Planck equation in grid-based state estimation routine, while taking into account the specifics of the field, such as probability density function (PDF) features, moving grid, zero boundary conditions, etc. The spectral methods, in general, achieve very fast convergence rate of O(c^N)(O< c<1) for analytical functions such as the probability density function, where N is the number of grid points. This is significantly better than the standard finite difference method (or midpoint rule used in discrete estimation) typically used in grid-based filter design with convergence rate O(1/N^2). As consequence, the proposed spectral method based filter provides better state estimation accuracy with lower number of grid points, and thus, with lower computational complexity.Abstrakt (CZ): Tato práce se zabývá odhadem stavu stochastických modelů se spojitou dynamikou. Cílem je začlenit metody spektrální diferenciace do řešení Fokkerovy-Planckovy rovnice v odhadu stavu na základě mřížky, přičemž se berou v úvahu specifika oboru, jako jsou vlastnosti funkce hustoty pravděpodobnosti (PDF), pohyblivá mřížka, nulové okrajové podmínky atd. Spektrální metody obecně dosahují velmi rychlé konvergence O(c^N)(O< c<1) pro analytické funkce, jako je funkce hustoty pravděpodobnosti, kde N je počet bodů mřížky. To je podstatně lepší než standardní metoda konečných diferencí (nebo obdélníkové integrační pravidlo používané při odhadu diskrétní dynamiky), která se obvykle používá při návrhu filtrů založených na mřížce s rychlostí konvergence O(1/N^2). V důsledku toho poskytuje navrhovaný filtr založený na spektrální metodě lepší přesnost odhadu stavu při nižším počtu bodů mřížky, a tedy i při nižší výpočetní složitosti.