Propagation Reversal for Bistable Differential Equations on Trees

Abstract

We study traveling wave solutions to bistable differential equations on infinite k-ary trees. These graphs generalize the notion of classical square infinite lattices and our results complement those for bistable lattice equations on ℤ. Using comparison principles and explicit lower and upper solutions, we show that wave solutions are pinned for small diffusion parameters. Upon increasing the diffusion, the wave starts to travel with nonzero speed, in a direction that depends on the detuning parameter. However, once the diffusion is sufficiently strong, the wave propagates in a single direction up the tree irrespective of the detuning parameter. In particular, our results imply that changes to the diffusion parameter can lead to a reversal of the propagation direction.

Studujeme cestující vlny bistabilních diferenciálních rovnic na nekonečných k-regulárních stromech. Tyto grafy zobecňují pojem klasické nekonečné mřížky a naše výsledky doplňují ty pro bistabilní rovnice na celočíselné mřížce. Použitím srovnávacích principů a explicitních dolních a horních řešení ukazujeme, že vlny jsou ukotvené pro malé difuzní parametry. Při zvětšování difuze vlna začne cestovat s nenulovou rychlostí ve směru závislém na ladícím parametru. Nicméně, pro dostatečně silnou difuzi se vlna pohybuje v jediném směru nezávislém na tomto parametru. Ve speciálním případě naše výsledky znamenají, že změny difuzního parametru mohou vést na obrácení směru šíření vlny.