Perfect-matching covers of cubic graphs with colouring defect 3

Abstract

The colouring defect of a cubic graph is the smallest number of edges left uncoveredby any set of three perfect matchings. While 3-edge-colourable graphs havedefect 0, those that cannot be 3-edge-coloured have defect at least 3. We show thatevery bridgeless cubic graph with defect 3 can have its edges covered with at most fiveperfect matchings, which verifies a long-standing conjecture of Berge for this class ofgraphs. Moreover, we determine the extremal graphs.

Farebný defekt kubického grafu je minimální počet hran, které zůstanou nepokryté systémem tří úplných párovaní. Pokud kubický graf má chromatický index 3, tak jeho defekt je nula. Defekt Kubických grafů indexu 4 je aspoň3. Dokážeme, že hrany kubického grafu G bez mostů defecktu 3 mohou být pokryty pěti úplnými párovaními. Pokud G je cyklicky 4-souvislý, tak s výnimkou Petersenova grafu, v něm existuje množina čtyř úplných párovaní pokrývající všechny hrany.