On almost regular mappings

Abstract

Ioffe’s criterion and various reformulations of it have become a standard tool in proving theorems guaranteeing various regularity properties such as metric regularity, i.e. the openness with a linear rate around the reference point, of a (set-valued) mapping.We derive an analogue of it guaranteeing the almost openness with a linear rate of mappings acting in incomplete spaces and having non-closed graphs, in general. The main tool used is an approximate version of Ekeland’s variational principle for a function that is not necessarily lower semicontinuous and is defined on an abstract (possibly incomplete) space. Further, we focus on the stability of this property under additive single-valued and set-valued perturbations.

Ioffeho kritérium a jeho zobecnění představují standartní nástroj pro důkaz vět o různých typech regularity obecně mnohoznačných zobrazení, např. metrická regularita, tj. otevřenost s lineárním řádem okolo referenčního bodu. Odvodíme jeho analogii pro přibližnou otevřenost s lineárním řádem pro zobrazení v neúplných prostorech, které nemají nutně uzavřený graf. Hlavním nástrojem je přibližná verze Ekelandova variačního principu pro funkce, které nejsou zdola polospojité a jsou definované v abstraktním (obecně neúplném) prostoru. Dále dokážeme stabilitu této vlastnosti vzhledem k aditivním jednoznačným a mnohoznačným perturbacím.