Kvalitativní analýza nelineárních rovnic typu reakce-difůze

Abstract

Předkládaná práce je zaměřena na kvalitativní analýzu řešení systému semilineárních parabolických rovnic typu \begin{align} \begin{cases} \frac{\partial u_1}{\partial t} -\Delta u_1 = \lambda f_1(u_2) \tab &\text {v } \Omega_T,\\[7pt] \frac{\partial u_2}{\partial t} -\Delta u_2 = \lambda f_2(u_1) \tab &\text {v } \Omega_T,\\[4pt] u_1=u_2=0 \tab &\text{na } \partial \Omega_T,\\ u_1( x,0) = u_1^0 \tab &\text{v } \Omega,\\ u_2( x,0) = u_2^0 \tab &\text{v } \Omega, \end{cases} \end{align} kde $\Omega_T = \Omega \times (0,T),$ $T>0$ a $\Omega$ je omezená oblast v prostoru $\mathbb{R}^n$ s dostatečně hladkou hranicí, $f_1,\ f_2$ jsou superlineární reakční členy, $\lambda$ je reálný parametr a $u_1^0,u_2^0 $ jsou počáteční podmínky. Hlavním cílem práce je studovat lokální řešitelnost uvedené úlohy, zejména s ohledem na tzv. výbuch řešení v konečném čase. K tomuto účelu využíváme metodu horních a dolních řešení. Hlavní přínos práce je uveden v Kapitole 4, kde je odvozena postačující podmínka, při které studovaný jev nastane.