Základní goniometrické vztahy a jejich využití

Abstract

Bakalářská práce nás provází historií, definicemi a využitím goniometrických vztahů v oblasti goniometrie a trigonometrie. V první části práce se seznámíme se stručnou historií goniometrických funkcí ať už v počátku starověku či středověku, tak také v období 15. a 17. století. V závěru první kapitoly je zmíněn odlišný pohled na tyto funkce Leonhardem Eulerem, který jim dal novodobou podobu. Druhá část této práce se věnuje tomu, jak a v jakých jednotkách obecně měříme úhly. Zmíněny jsou zde také základní definice goniometrických funkcí a rozdíly mezi nimi. Ať už pomocí jednotkové kružnice, tak či pomocí pravoúhlého trojúhelníku. Třetí část se věnuje goniometrií pravoúhlých trojúhelníků, funkcí ostrých úhlů, které přechází v podobnost a shodnost trojúhelníků. Tyto pojmy pro nás byly stěžejní pro definici a odvození věty Pythagorovi a vět Thaletových. Čtvrtá část definuje a odvozuje asi nejpoužívanější větu v oblasti obecného trojúhelníku. Zmíněnou a odvozenou větou je tím pádem věta sinová a kosinová. V závěru této čtvrté kapitoly jsou vypsány a odvozeny některé goniometrické vztahy. V páté části jsou nastíněny základní goniometrické vztahy pomocí jednoduchým grafů. V přiložených tabulkových jsou pak vypsány některé vlastnosti těchto funkcí, jako jsou např. znaménka v jednotlivých kvadrantech či hodnoty těchto funkcí pro význačné úhly. Poslední a tedy šestou částí této bakalářské práce je využití goniometrických funkcí v oblasti matematické analýzy. V té se zabýváme vyjádřením goniometrických funkcí pomocí mocninných řad a pomocí diferenciálních rovnic. Dále pak jaké využití mají tyto funkce v oblasti integrálního počty, kdy je využíváme jako vhodné substituce. Závěr této kapitoly uceluje veškeré naše znalosti v oblasti vyšší matematiky, kdy pomocí integrálního počtu definujeme a na základních příkladech počítáme délku rovinné křivky.