Mikrostrukturálně orientovaný model transportu iontů v porézním prostředí

Abstract

Disertační práce se zaměřuje na víceškálové modelování transportu iontů v porézním prostředí a jeho aplikaci na modelování tkáně kortikální kosti. Je uvažován dvoufázový materiál, kde tekutou složku tvoří nestlačitelný elektrolyt se dvěma typy rozpuštěných iontů. Pro pevnou fázi jsou uvažovány dva typy materiálu: lineárně elastický materiál a slabě piezoelektrický materiál. V obou případech se na rozhraní fází nachází slabý záporný náboj. Přítomnost iontů v tekutině, její vazkost, blízkost náboje na rozhraní i deformace pevné fáze ovlivňují pohyb elektrolytu a tím také rozložení náboje. Výsledkem je komplexní matematický model, který je nutno převést do bezrozměrného tvaru a následně linearizovat. Pomocí homogenizace metodou unfoldingu je odvozen statický dvouškálový model pro transport iontů v poroelastickém materiálu, který je dále rozšířen na model kvasi-statický v poropiezoelektrickém materiálu.

Pro numerické simulace chování odvozených modelů byl vytvořen vlastní software pro řešení 3D úloh na obou škálách. Prostorová diskretizace na obou škálách je provedena pomocí metody konečných prvků. Chování obou modelů je ilustrováno pomocí několika testovacích úloh. Tato práce také předkládá možnou metodu identifikace těžce měřitelných materiálových parametrů suché kosti, která je modelovaná jako slabě piezoelektrický porézní materiál. Tato metoda je založena na optimalizaci pomocí citlivostní analýzy efektivních vztahů. Za tímto účelem byl vytvořen software pro identifikaci materiálových parametrů, který částečně využívá dostupné softwarové knihovny zaměřené na optimalizaci. V poslední části práce je model s uvažováním piezoelektrického jevu aplikován na modelování chování tkáně kortikální kosti. Pomocí numerických simulací bylo ilustrováno chování dvouškálového modelu kortikální kosti a to jak na makroskopické úrovni, tak pomocí rekonstrukcí řešení na úrovní mikroskopické.