Kvalitativní analýza nelineárních rovnic typu reakce-difúze s integrodiferenciálními operátory neceločíselného řádu

Abstract

Pomocí numerických simulací studujeme reakčně-difuzní problémy s difuzí popsanou frakcionálním laplaciánem. Frakcionální laplacián se objevuje např. v matematických modelech populační dynamiky, kde je pohyb jedinců způsoben tzv. Levyho skoky, nikoliv Brownovým pohybem. Uvažované problémy zahrnují nelineární reakční členy závislé na parametrech. Naším cílem je pochopit závislost řešení na těchto parametrech. Pro stacionární problémy provádíme numerické simulace a konstruujeme bifurkační diagramy pomocí algoritmů automatického sledování větví řešení (tzv. "branch following"). Pro řešení úloh používáme metodu konečných diferencí, kterou jsme implementovali v prostředí Matlab. Problémy studujeme v jedné nebo dvou prostorových dimenzích. V případě dvou rozměrů nám naše implementace konečných diferencí umožňuje studovat tyto problémy na poměrně obecných oblastech. Studujeme také evoluční problémy, pro které používáme implicitní Eulerovu metodu kombinovanou s konečnými diferencemi. K řešení nelineárních evolučních úloh používáme metodu monotónních iterací.