Franklova hypotéza o množinových systémech a síla podmínek \nl lineárního programování

Abstract

V předkládané práci je čtenář nejprve seznámen s Franklovou hypotézou. Franklova hypotéza říká, že všechny konečné systémy množin uzavřené na sjednocení obsahují prvek, který patří do alespoň poloviny množin v systému. V práci detailně rozebíráme předpoklady hypotézy, základní poznatky, ekvivalentní formulace, vybrané známé částečné výsledky a výsledky týkající se malých systémů množin. Zmíněn je též nedávný průlom v nalezení konstantního dolního odhadu hypotézy.

Hlavní výsledek prezentovaný v této práci je důkaz, že Franklova hypotéza platí pro systémy množin uzavřených na sjednocení, kde velikost největší množiny v systému je nejvýše 14. Tento výsledek zlepšuje doposud známé výsledky pro velikosti 7,9,10,11,12 od Poonen [20], Lo Faro [11], Marković [18], Bošnjak and Marković [3] a Vučković a Živković [28] v tomto pořadí. Důkaz je výsledkem skupinového projektu autora této práce, Jany Chrastinové, Adama Kabely a Jakuba Tesky. Předkládaná práce obsahuje detailní představení a vysvětlení použitých metod a také shrnutí celého počítačem asistovaného důkazu.

V důkazu nejdříve formulujeme restrikci Franklovy hypotézy jako problém celočíselného lineárního programování, který z výpočetních důvodů relaxujeme na problém lineárního programování. Relaxaci kompenzujeme rozdělením důkazu do několika částí, iterativně dokazujeme čím dál silnější nerovnice, které přidáváme do programu jako podmínky. K organizaci a řazení částí důkazu využíváme izomorzmus hypergrafů.