Localization of Fučík curves for the second order discrete Dirichlet operator

Abstract

V tomto článku se zabýváme diferenční rovnicí druhého řádu s asymetrickými nelinearitami na množině celých čísel a zkoumáme rozložení nulových bodů spojitých rozšíření kladných půlvln. Vzdálenost mezi dvěma po sobě jdoucími nulovými body dvou různých kladných půlvln závisí nejenom na parametrech úlohy, ale také na pozici jednoho z těchto nulových bodů vzhledem k celočíselné mřížce. Pro vyjádření této vzdálenosti poskytujeme explicitní předpis, který nám dovoluje získat nový a velmi jednoduchý implicitní popis všech netriviálních Fučíkových křivek pro diskrétní Dirichletův operátor. Dále pro pevně zvolené parametry úlohy ukazujeme, že tato vzdálenost je omezená a nabývá svých globálních extrémů, které jsou popsány pomocí Čebyševových polynomů druhého druhu. Nakonec pro každou netriviální Fučíkovu křivku poskytujeme vhodné odhady pomocí dvou křivek s jednoduchým popisem, který je srovnatelný s popisem první netriviální Fučíkovy větve.