Tensor Train Approximation of Multivariate Functions

Abstract

The tensor train is a popular model for approximating high-dimensional rectangular data structures that cannot fit in any computer memory due to their size. The tensor train can approximate complex functions with many variables in the continuous domain. The traditional method for obtaining the tensor train model is based on a skeleton decomposition, which is better known for matrices. The skeleton (cross) decomposition has the property that the tensor approximation is accurate on certain tensor fibers but may be poor on other fibers. In this paper, we propose a technique for fitting a tensor train to an arbitrary number of tensor fibers, allowing flexible modeling of multivariate functions that contain noise. Two examples are studied: a noisy Rosenbrock function and a noisy quadratic function, both of order 20.n

Tenzorový vláček je populární model pro aproximaci mnoharozměrných obdélníkových datových struktur, které se kvůli své velikosti nevejdou do žádné počítačové paměti. Tenzorový vláček může aproximovat složité funkce s mnoha proměnnými v spojité doméně. Tradiční metoda pro získání tenzorového vláčkového modelu je založena na skeleton decompozici, která je lépe známá pro matice. Skeletonová (křížová) dekompozice má tu vlastnost, že tenzorová aproximace je přesná na určitých tenzorových vláknech, ale na jiných vláknech může být špatná. V tomto článku navrhujeme techniku pro přizpůsobení tenzorového vláčku libovolnému počtu tenzorových vláken, což umožňuje flexibilní modelování vícerozměrných funkcí, které obsahují šum. Studujeme dva příklady: šumovou Rosenbrockovu funkci a šumovou kvadratickou funkci, obě řádu 20.