Odhady normy chyby v metodě sdružených gradientů

Abstract

Cílem této práce je popsat a vysvětlit vztahy mezi metodou sdružených gradientů, Lanczosovým algoritmem, ortogonálnímy polynomy, obecným kvadraturním pravidlem a Jacobiho maticí. Ukážeme jak můžeme získat Gaussovu kvadraturu aproximací Riemann-Stieltjesa itnegrálu. Uzly a váhy tohoto pravidla můžeme počítat pomocí vlastních čísel a vlastních vektorů Jacobiho matice, která je popsána tříčlennou rekurencí. Potom představíme algoritmy pro počítání dolních a horních odhadů A-normy chyby založené na Gaussově, Gauss-Radau a Gauss-Lobatto kvadratuře. V numerických experimentech se převážně soustředíme na horní odhad A-normy chyby. Položíme otázky na stabilitu a přesnost horního Gauss-Radau odhadu. Na závěr představíme heuristiku pro zlepšení dolního odhadu.