Aplikace nespojité Galerkinovy metody konečných prvků na řešení úloh mechaniky tekutin

Abstract

Předložená disertační práce se zabývá numerickým modelováním proudění stlačitelných nevazkých a vazkých tekutin. Pro prostorovou diskretizaci rovnic matematického modelu je použita moderní nespojitá Galerkinova metoda konečných prvků. V disertační práci je provedeno odvození této metody jak pro případ systému Eulerových rovnic popisujícího proudění stlačitelné, nevazké a tepelně nevodivé tekutiny, tak pro případ systému Navierových-Stokesových rovnic popisujícího laminárního proudění stlačitelné, vazké tekutiny. Jsou zde diskutovány různé systémy bázových funkcí, okrajové podmínky a způsoby tlumení nefyzikálních oscilací vznikajících v řešení. Dále jsou zde uvedeny možnosti explicitní a implicitní časové integrace včetně návodu na efektivní sestavení Jacobiovy matice. Hlavním cílem této disertační práce je vzájemné porovnání výpočetní efektivity explicitní a implicitní metody časové integrace. Z důvodů úspory výpočetního času je explicitní metoda vylepšena metodou lokálního času. Vzájemné porovnání implicitní metody a explicitní metody s lokálním časem je provedeno na dvou testovacích příkladech, na supersonickém proudění nevazké tekutiny v geometrii se schodem a na transonickém proudění nevazké tekutiny v GAMM kanálu.

Dalším cílem této disertační práce je aplikace nespojité Galerkinovy metody konečných prvků na řešení problémů technické praxe. V jedné z aplikačních úloh je řešeno turbulentní proudění v mezeře s výstupem do otevřené oblasti. Turbulence je zde modelována pomocí Wilcoxova k−ω modelu turbulence připojeného k časově středovanému nelineárnímu systému Navierových-Stokesových rovnic. Získané numerické výsledky ukazují velice dobrou shodu s experimentem. Další aplikační úlohou uvažovanou v této práci je proudění tekutiny v časově proměnné oblasti. Jsou zde diskutovány dva rozdílné přístupy. První přístup je založený na ALE (Arbitrary Lagrangian Eulerian) formulaci nespojité Galerkinovy metody konečných prvků, která uvažuje časově proměnné výpočetní sítě. Druhým přístupem je IBM (Immersed Boundary Method), který využívá klasickou formulaci metody na pevné síti a pohyb oblasti modeluje pomocí zdrojového členu. Získané numerické výsledky potvrzují poměrně dobrou shodu obou přístupů, nicméně IBM metoda má díky své jednoduchosti obecnější použití. V disertační práci je dále uvedena možnost adaptivního zjemňování výpočetní sítě, kterého je možné poměrně jednoduše dosáhnout díky lokálnosti nespojité Galerkinovy metody konečných prvků. Adaptivní síťování je testováno na příkladech transonického obtékání NACA 0012 leteckého profilu a na supersonickém proudění náporovým motorem. Na konci disertační práce je uvedena možnost zefektivnění vyvinutých algoritmů pomocí paralelního výpočtu s využitím vláken.