Perfect stationary solutions of reaction–diffusion equations on lattices and regular graphs

Abstract

In this work, we introduce a notion of perfect stationary solutions of reaction–diffusion differential equations on lattices and regular graphs and show its elementary properties. The perfect stationary solutions – a special class of finite-range solutions in which the neighborhood values are determined by the value of the central vertex – generalize periodic stationary solutions. The focus on the solution which attain a finite number of values enables us to reduce the stationary problem from a countable algebraic system of equations to a finite one. However, the possible absence of periodicity in the solutions allows for richer structure of the solutions and their abundance compared to the periodic stationary solutions. We further present results from the theory of perfect colorings in order to prove the existence of the solutions on the square, triangular, and hexagonal grid. As a byproduct, the existence of uncountable number of two-valued stationary solutions on these grids is shown. These two-valued solutions alone can form highly aperiodic and highly irregular patterns. Finally, an application to a bistable reaction–diffusion equation on the square grid is presented.

V této práci zavádíme pojem perfektních stacionárních řešení reakčně-difuzních diferenciálních rovnic na mřížkách a regulárních grafech a ukazujeme jejich elementární vlastnosti. Perfektní stacionární řešení – zvláštní třída řešení s konečným oborem hodnot, v nichž jsou hodnoty v okolí určeny hodnotou centrálního vrcholu – zobecňují periodická stacionární řešení. Zaměření na řešení, která nabývají konečného počtu hodnot, nám umožňuje redukovat stacionární úlohu ze spočetné algebraické soustavy rovnic na soustavu konečnou.Možná absence periodicity v řešeních umožňuje bohatší strukturu řešení a jejich větší množství ve srovnání s periodickými stacionárními řešeními. Dále využíváme výsledky z teorie perfektních barvení, abychom dokázali existenci těchto řešení na čtvercové, trojúhelníkové a hexagonální mřížce. Jako vedlejší výsledek je ukázána existence nespočetného množství dvouhodnotových stacionárních řešení na těchto mřížkách. Tato dvouhodnotová řešení sama o sobě mohou vytvářet aperiodické a velmi nepravidelné vzory. Nakonec je uvedena aplikace na bistabilní reakčně-difuzní rovnici na čtvercové mřížce.