Řetězové zlomky a některé typy kvadratických diofantických rovnic

Abstract

Diplomová práce se zabývá odmocninami a způsoby usměrňování zlomků s iracionálními jmenovateli. Text je členěn do sedmi kapitol. V první kapitole se seznámíme se základní terminologií řetězových zlomků a se sblíženými zlomky řetězových zlomků.

V druhé kapitole si definujeme základní pojem celá část čísla, bez jehož znalosti bychom nedokázali vyřešit naprostou většinu uvedených příkladů. Dále je zde řešena problematika vyjádření kladného racionálního čísla pomocí Euklidova algoritmu a neúplných podílů.

V třetí kapitole se dozvídáme, jak lidé v průběhu evoluce matematiky napříč historií pracovali s druhými odmocninami. Dále jsou zde definovány ryze periodické a neryze periodické pravidelné řetězové zlomky, načež jimi vyjadřujeme kvadratické iracionality.

Čtvrtá kapitola je věnována základní definici kongruence a využití řetězových zlomků při řešení lineární kongruence o jedné neznámé.

V páté a šesté kapitole se seznamujeme s termínem diofantické rovnice a opět nahlédneme do historie, abychom zjistili, kdo byl onen Diofantos. Poté postupně pracujeme se dvěma speciálními typy kvadratických diofantických rovnic o dvou neznámých - Pellovou rovnicí a zobecněnou Pellovou rovnicí. Zjistíme, jací matematici napříč historií dané rovnice řešili a jakými algoritmy lze získat uspořádané celočíselné dvojice [x,y], které jsou hledaným řešením.

V poslední kapitole se dozvídáme o další kvadratické diofantické rovnici, o historii diofantických rovnic v rámci školství a o řešení daných rovnic v současnosti pomocí matematických aplikací a programů.