Pozitivita polynomů včetně školských souvislostí

Abstract

Rozklad polynomu na součet čtverců polynomů (zkr. SOS) představuje jednu z klasických metod, jak dokázat, že je jistý polynom f pozitivně semidefinitní. Jedná se o způsob důkazu úzce související se 17. Hilbertovým problémem předneseným Davidem Hilbertem v rámci přednášky Problémy matematiky na 2. mezinárodním kongresu matematiků v Paříži v roce 1900. V současné době se ovšem jedná o problematiku, která není obvykle vyučována na českých středních školách, ani v kurzech (počítačové) algebry v rámci přípravy učitelů matematiky a/nebo informatiky na pedagogických fakultách. Rozklad samotný může být přitom v případě polynomů jedné neurčité jednoduchou záležitostí a může se jednat o techniku, kterou mohou využít řešitelé matematických olympiád. Opačným případem jsou polynomy vyšších stupňů ve více neurčitých, při jejichž řešení se neobejdeme bez výpočetní techniky a matematického softwaru. Díky tomuto softwaru je možné nahlížet na klasické problémy nekonvenčním-inovativním způsobem optikou počítačových technologií a řešit úlohy, které by svým rozsahem byly v minulosti takřka neřešitelné. Kognitivní technologie nám navíc umožňují náročnější pasáže této problematiky a abstraktní pojmy přiblížit i studentům středních škol a současným učitelům na základních a středních školách. Disertační práce je proto věnována nejen vymezení daného problému (vč. historických souvislostí), možnostem jeho řešení a obecným matematickým algoritmům, ale je též zaměřena na možnosti užití matematického softwaru a obecně výpočetní techniky při určování rozkladu reálného polynomu na součet čtverců polynomů. Poukazuje na limity lidských výpočtů, ale i těch realizovaných s využitím obvyklého školského vybavení. Sada podrobně řešených příkladů s postupně rostoucí úrovní náročnosti od středoškolských úloh po problémy obtížně řešitelné i s využitím počítače, pak navíc dává možnost (nejen) studentům princip rozkladu na SOS, jeho dílčí kroky i jistá omezení lépe pochopit.

Description

Subject(s)

pozitivně semidefinitní polynom, 17. hilbertův problém, rozklad na součet čtverců (sos), matematický software, kognitivní technologie, choleského dekompozice, čtvercové identity, hornerovo schéma, řešené úlohy

Citation

OPEN License Selector