Pozitivita polynomů včetně školských souvislostí

Abstract

Rozklad polynomu na součet čtverců polynomů (zkr. SOS) představuje jednu z klasických metod, jak dokázat, že je jistý polynom f pozitivně semidefinitní. Jedná se o způsob důkazu úzce související se 17. Hilbertovým problémem předneseným Davidem Hilbertem v rámci přednášky Problémy matematiky na 2. mezinárodním kongresu matematiků v Paříži v roce 1900. V současné době se ovšem jedná o problematiku, která není obvykle vyučována na českých středních školách, ani v kurzech (počítačové) algebry v rámci přípravy učitelů matematiky a/nebo informatiky na pedagogických fakultách. Rozklad samotný může být přitom v případě polynomů jedné neurčité jednoduchou záležitostí a může se jednat o techniku, kterou mohou využít řešitelé matematických olympiád. Opačným případem jsou polynomy vyšších stupňů ve více neurčitých, při jejichž řešení se neobejdeme bez výpočetní techniky a matematického softwaru. Díky tomuto softwaru je možné nahlížet na klasické problémy nekonvenčním-inovativním způsobem optikou počítačových technologií a řešit úlohy, které by svým rozsahem byly v minulosti takřka neřešitelné. Kognitivní technologie nám navíc umožňují náročnější pasáže této problematiky a abstraktní pojmy přiblížit i studentům středních škol a současným učitelům na základních a středních školách.

Disertační práce je proto věnována nejen vymezení daného problému (vč. historických souvislostí), možnostem jeho řešení a obecným matematickým algoritmům, ale je též zaměřena na možnosti užití matematického softwaru a obecně výpočetní techniky při určování rozkladu reálného polynomu na součet čtverců polynomů. Poukazuje na limity lidských výpočtů, ale i těch realizovaných s využitím obvyklého školského vybavení. Sada podrobně řešených příkladů s postupně rostoucí úrovní náročnosti od středoškolských úloh po problémy obtížně řešitelné i s využitím počítače, pak navíc dává možnost (nejen) studentům princip rozkladu na SOS, jeho dílčí kroky i jistá omezení lépe pochopit.