Computing equivalence classes of finite group actions on orientable surfaces

Abstract

This paper focuses on the classification of classes of topological equivalence of finite group actions on Riemann surfaces. By the Riemann-Hurwitz bound, there are just finitely many groups that act conformally on a closed orientable surface Sg of genus g≥2. With each such action of a group G on Sg one can associate the fundamental group Γ=π(O) of the quotient orbifold O=Sg/G, isomorphic to a Fuchsian group determined completely by orbifold's signature. The Riemann existence theorem reduces the problem of the existence of an action of G on Sg to a purely group-theoretical problem of deciding whether there is an smooth epimorphism mapping the Fuchsian group Γ onto the group G. Using computer algebra systems such as MAGMA or GAP, together with the library of small groups, the generation of all finite group actions on a surface of fixed small genus g≥2 becomes almost a routine procedure. The difficult part is to determine the classes of these actions with respect to topological equivalence. To achieve this, one needs to investigate the action of the automorphism group of a Fuchsian group on the set of finite group actions on Sg with the corresponding signature. In this paper we derive several results on the topological equivalence of finite group actions on Riemann surfaces. As an application, we derive complete lists of finite group actions of genus g≤8 distinguished up to the topological equivalence.

Tento článek se zaměřuje na klasifikaci tříd topologické ekvivalence akcí konečných grup na Riemannových plochách. Z Riemann-Hurwitzovy rovnice vyplývá, že existuje jen konečně mnoho grup, které působí na uzavřené orientovatelné ploše Sg rodu g≥2. S každou takovou akcí grupy G na Sg lze asociovat fundamentální grupu Γ=π(O) kvocientového orbifoldu O=Sg/G, která je izomorfní k Fuchsovské grupě určené kompletně signaturou orbifoldu. Riemannův existenční teorém redukuje problém existence akce G na Sg na čistě grupově teoretický problém rozhodnout, zda existuje hladký epimorfismus mapující fuchsovskou grupu Γ na grupu G. Pomocí systémů počítačové algebry jako MAGMA popř. GAP, spolu s knihovnou malých grup, se generování všech akcí konečných skupin na ploše fixovaného malého rodu g≥2 stává téměř rutinním postupem. Obtížné je určit třídy těchto akcí s ohledem na topologickou ekvivalenci. Abychom toho dosáhli, potřebujeme prozkoumat akci grupy automorfismu fuchsovské grupy na množině akcí konečných grup na Sg s odpovídající signaturou. V tomto článku dokážeme několik výsledků o topologické ekvivalenci akcí konečných grup na Riemannových plochách. Jako aplikaci prezentujeme kompletní seznamy akcí konečných grup rodu g≤8 rozlišených natopologickou ekvivalenci.