The Jacobian of a graph and graph automorphisms

Abstract

In the present paper we investigate the faithfulness of certain linear representations of groups of automorphisms of a graph X in the group of symmetries of the Jacobian of X. As a consequence we show that if a 3-edge-connected graph X admits a nonabelian semiregular group of automorphisms, then the Jacobian of X cannot be cyclic. In particular, Cayley graphs of degree at least three arising from nonabelian groups have non-cyclic Jacobians. While the size of the Jacobian of X is well-understood – it is equal to the number of spanning trees of X – the combinatorial interpretation of the rank of Jacobian of a graph is unknown. Our paper presents a contribution in this direction.

V tomto článku zkoumáme věrnost určitých lineárních reprezentací grupy automorfismů grafu X v grupě symetrií Jakobiánu grafu X. Ukážeme, že pokud 3-hranově souvislý graf X připouští neabelovský semiregulární grupu automorfismů, pak Jakobián X nemůže být cyklický. Z uvedeného vyplývá, že Cayleyovy grafy stupně alespoň tři definované z neabelovských grup mají necyklické Jakobiány. Zatímco velikost Jakobiánu X je dobře srozumitelná – rovná se počtu koster X – kombinatorická interpretace ranku Jakobiánu grafu není známa. Náš příspěvek v představuje příspěvek tímto směrem.