Consistent determination of the gravimetric geoid and orthometric height

Abstract

Various computational methods have been developed and applied to determine regional gravimetric geoid models with high accuracy using surface gravity and terrain data, while also often taking into consideration topographic mass density information. Helmert’s orthometric height is, on the other hand, until now solely used for practical realization of vertical geodetic controls in countries where the orthometric height is adopted for the definition of official height systems. Whereas small errors (at the level of a few centimeters) are reported for accurately determined regional gravimetric geoid models, errors in Helmert’s orthometric height reach several centimeters and decimeters already at levelling networks realized in lowlands and regions with moderately elevated topography. In mountainous regions with extremely elevated topography, these errors reach several meters. In Helmert’s definition of the orthometric height, the mean value of gravity within topographic masses is computed approximately from observed surface gravity by applying the Poincaré-Prey gravity gradient reduction, without applying complex computational methods that are used in the gravimetric geoid modelling. This approximation introduces errors due to assuming a constant topographic mass density and disregarding terrain geometry and mass density heterogeneities inside the geoid. Consequently, values of Helmert’s orthometric heights are not consistent with accurately determined regional gravimetric geoid models and should not be fitted or combined with GNSS/levelling data. To address this theoretical inconsistency, we propose a computational scheme based on applying developed methods for consistent determination of the regional gravimetric geoid and orthometric height to achieve their full compatibility by means of improving the accuracy of the orthometric height. We demonstrate that computational methods applied in the regional gravimetric geoid modelling can be modified to determine also the accurate orthometric height, so that both quantities are computed consistently and simultaneously. We also show that the proposed computational scheme can be also used for an accurate conversion of normal to orthometric heights by means of applying the geoid-to-quasigeoid separation. This allows an independent validation of regional gravimetric geoid models.Existují různé výpočetní metody pro určení regionálních gravimetrických modelů geoidu určených s vysokou přesností pomocí povrchových tíhových a topografických dat, přičemž se často berou v úvahu informace o topografické měrné hmotnosti. Helmertova ortometrická výška je používána pro praktickou realizaci vertikálních geodetických kontrol v zemích, kde je ortometrická výška převzata pro definici oficiálních výškových systémů. Zatímco u přesně určených regionálních gravimetrických modelů geoidu jsou hlášeny malé chyby (na úrovni několika centimetrů), chyby v Helmertově ortometrické výšce dosahují několika centimetrů a decimetrů již v nivelačních sítích realizovaných v nížinách a regionech se středně zvýšenou topografií. V horských oblastech s extrémně zvýšenou topografií dosahují tyto chyby několika metrů. V Helmertově definici ortometrické výšky je střední hodnota tíhového zrychlení v topografických hmotách vypočítána přibližně z pozorované povrchové tíže použitím Poincaré-Prey gradientu tíhového zrychleni, bez použití složitých výpočtových metod, které se používají při modelování geoidu. Tato aproximace zavádí chyby způsobené předpokladem konstantní měrné hmostnosti topografických hmot a bez ohledu na geometrii terénu a heterogenity hmot uvnitř geoidu. V důsledku toho nejsou hodnoty Helmertových ortometrických výšek konzistentní s přesně určenými regionálními gravimetrickými modely geoidu a neměly by být přizpůsobeny nebo kombinovány s GNSS/nivelačními údaji. K řešení této teoretické nekonzistence navrhujeme výpočtové schéma založené na aplikaci vyvinutých metod pro konzistentní stanovení regionálního gravimetrického geoidu a ortometrické výšky pro dosažení jejich plné kompatibility pomocí zlepšení přesnosti ortometrické výšky. Ukazujeme, že výpočtové metody aplikované v regionálním gravimetrickém modelování geoidu lze modifikovat tak, aby určovaly i přesnou ortometrickou výšku, takže obě veličiny jsou počítány konzistentně a současně. Ukazujeme také, že navržené výpočtové schéma lze také použít pro přesný převod normálních výšek na výšky ortometrické pomocí aplikace separace geoid-kvazigeoid. To umožňuje nezávislé ověření regionálních gravimetrických modelů geoidu.