Automorphisms and Isomorphisms of Maps in Linear Time

Abstract

A map is a 2-cell decomposition of a closed compact surface, i.e., an embedding of a graph such that every face is homeomorphic to an open disc. An automorphism of a map can be thought of as a permutation of the vertices, which preserves the vertex-edge-face incidences in the embedding. Every automorphism of a map determines an angle-preserving homeomorphism of the surface. While it is conjectured that there is no "truly subquadratic" algorithm for testing map isomorphism for unconstrained genus, we present a linear-time algorithm for computing the generators of the automorphism group of a map on an orientable surface of genus g not equal 0, parametrized by the genus g . A map on an orientable surface is uniform if the cyclic vector of sizes of faces incident to a vertex v does not depend on the choice of v . The algorithm applies a sequence of local reductions and produces a uniform map while preserving the automorphism group. The automorphism group of the original map can be reconstructed from the automorphism group of the associated uniform map in linear time. We also extend the algorithm to non-orientable surfaces by making use of the antipodal double-cover. The algorithm can be used to solve the map isomorphism problem between maps (orientable or non-orientable) of bounded negative Euler characteristic.

Mapa je buněčný rozklad uzavřené kompaktní plochy, tj. vložení grafu do plochy tak, že každá oblast je homeomorfní k otevřenému disku. Automorfismus mapy si lze představit jako permutaci vrcholů, která zachovává výskyty vzájemně incidentních trojicvrchol-hrana-oblast. Každý automorfismus mapy určuje homeomorfismus plochy zachovávající úhly. I když se předpokládá, že neexistuje žádný "skutečně subkvadratický" algoritmus pro testování izomorfismu map pro neomezený rod, v článku představujeme algoritmus s lineárním časem pro výpočet generátorů skupiny automorfismu mapy na orientovatelném povrchu rodu g, který se nerovná 0, parametrizovaný rodem g . Mapa na orientovatelné ploše je uniformná, pokud cyklický vektor velikostí ploch incidentních vrcholu v nezávisí na volbě vrchola. Algoritmus aplikuje sekvenci lokálních redukcí a vytváří uniformní mapu při zachování grupy automorfismů. Grupa automorfismů původní mapy může být rekonstruována z grupy automorfismů asociované uniformní mapy v lineárním čase. Algoritmus také rozšiřujeme na neorientovatelné plochy použitím antipodálního dvojitého nakrytí. Algoritmus lze použít k řešení problému izomorfismu mapy mezi mapami (orientovatelnými nebo neorientovatelnými) s omezenou negativní Eulerovou charakteristikou.