Berge's Conjecture for Cubic Graphs with Small Colouring Defect

Abstract

A long standing conjecture of Berge suggests that every bridgeless cubic graph can be expressed as a union of at most five perfect matchings.This conjecture holds for 3-edge-colourable cubic graphs, but remains widely open for graphs that are not 3-edge-coroulable.The aim of this paper is to investigate the validity of Berge conjecture for cubic graphs with small colouring defect. We prove that cubic graphswith colouring defect 3 satisfy the Berge congecture. Moreover, we prove that if the cyclic connectivity is at least four, then four perfect matchings suffice unless the graph is the Petersen graph.

Dlouholetá Bergeova hypotéza naznačuje, že každý kubický graf bez můstku lze vyjádřit jako sjednocení maximálně pěti dokonalých párování.Tato hypotéza platí pro kubické grafy obarvitelné se třemi hranami, ale zůstává široce otevřená pro grafy, které nejsou obarvitelné se třemi hranami.Cílem tohoto článku je zkoumat platnost Bergeovy hypotézy pro kubické grafy s malou vadou barvení. Dokazujeme, že kubické grafy s vadou barvení 3 splňují Bergeovu kongekturu. Dále dokazujeme, že pokud je cyklická konektivita alespoň čtyři, pak postačují čtyři dokonalá párování, pokud graf není Petersenův graf.