Decycling cubic graphs

Abstract

A set of vertices of a graph G is said to be decycling if its removal leaves an acyclic subgraph. The size of a smallest decycling set is the decycling number of G. Generally, at least ⌈(n+2)/4⌉ vertices have to be removed in order to decycle a cubic graph on n vertices. In 1979, Payan and Sakarovitch proved that the decycling number of a cyclically 4-edge-connected cubic graph of order n equals ⌈(n+2)/4⌉. In addition, they characterised the structure of minimum decycling sets and their complements. If n≡2(mod4), then G has a decycling set which is independent and its complement induces a tree. If n≡0(mod4), then one of two possibilities occurs: either G has an independent decycling set whose complement induces a forest of two trees, or the decycling set is near-independent (which means that it induces a single edge) and its complement induces a tree. In this paper we strengthen the result of Payan and Sakarovitch by proving that the latter possibility (a near-independent set and a tree) can always be guaranteed. Moreover, we relax the assumption of cyclic 4-edge-connectivity to a significantly weaker condition expressed through the canonical decomposition of 3-connected cubic graphs into cyclically 4-edge-connected ones. Our methods substantially use a surprising and seemingly distant relationship between the decycling number and the maximum genus of a cubic graph.

O množině vrcholů grafu G se říká, že decykluje G, pokud její odstranění zanechá acyklický podgraf. Velikost nejmenší decyklační množiny je decyklační číslo G. Obecně musí být odstraněno alespoň ⌈(n+2)/4⌉ vrcholů, aby bylo možné decyklovat kubický graf na n vrcholech. V roce 1979 Payan a Sakarovich dokázali, že decyklační číslo cyklicky 4-souvislého kubického grafu řádu n se rovná ⌈(n+2)/4⌉. Dále charakterizovali strukturu minimálních decyklačních množin a jejich doplňků. Jestliže n≡2(mod4), pak G má decyklační množinu, která je nezávislá a její doplněk indukuje strom. Pokud n≡0(mod4), pak nastane jedna ze dvou možností: buď má G nezávislou decyklační množinu, jejíž doplněk indukuje les dvou stromů, nebo je decyklační množina téměř nezávislá (což znamená, že indukuje jednu hranu) a její doplněk indukuje strom. V tomto článku zesilujeme výsledek Payana a Sakaroviče tím, že dokazujeme, že druhou možnost (téměř nezávislou množinu a strom) lze vždy zaručit. Navíc uvolníme předpoklad cyklické 4-souvislosti na výrazně slabší podmínku vyjádřenou kanonickým rozkladem 3-souvislých kubických grafů na cyklicky 4-souvislé kubické grafy. Naše metody podstatně využívají překvapivý a zdánlivě vzdálený vztah mezi decyklačním číslem a maximálním rodem kubického grafu.