An Efficient point-in-convex 3D polyhedron test using a projective algorithm with sub-linear expected complexity

Abstract

We propose a novel algorithm for determining whether a given point lies within a convex polyhedron, achieving a sub-linear computational expected complexity of Oexp(N1/2), where N represents the number of triangles in the polyhedron’s triangular mesh. In contrast to traditional methods with linear complexity O(N), our approach significantly reduces com-putational overhead, making it especially effective for large polyhedral models. The algorithm is formulated entirely in projective space, utilizing homogeneous coordinates for the tested points and triangle vertices. By leveraging vector–vec¬tor operations optimized for SSE, AVX instructions, and GPU architectures, our method is robust and straightforward, tailored to handle even highly complex convex polyhedra. The efficiency of the approach was validated through theoretical analysis and estimated speed-up calculations, demonstrating its potential to accelerate applications in computer graphics, computational geometry, collision detection, and related fields. Additionally, the simplicity of the proposed algorithm ensures a high potential for broad applicability and supports further advancements in this area.Navrhujeme nový algoritmus pro určení, zda daný bod leží v konvexním mnohostěnu, a dosahujeme tak sublineární výpočetní očekávané složitosti Oexp(N1/2), kde N představuje počet trojúhelníků v trojúhelníkové síti mnohostěnu. Na rozdíl od tradičních metod s lineární složitostí O(N) náš přístup výrazně snižuje výpočetní náklady, což ho činí obzvláště efektivním pro velké mnohostěnové modely. Algoritmus je formulován výhradně v projektivním prostoru a využívá homogenní souřadnice pro testované body a vrcholy trojúhelníků. Využitím vektor-vektorových operací optimalizovaných pro architektury SSE, AVX a GPU je naše metoda robustní a přímočará, přizpůsobená i pro vysoce složité konvexní mnohostěny. Účinnost přístupu byla ověřena teoretickou analýzou a odhadovanými výpočty zrychlení, což demonstruje jeho potenciál urychlit aplikace v počítačové grafice, výpočetní geometrii, detekci kolizí a souvisejících oborech. Jednoduchost navrhovaného algoritmu navíc zajišťuje vysoký potenciál pro širokou použitelnost a podporuje další pokrok v této oblasti.