Uncertainties associated with integral-based solutions to geodetic boundary-value problems

Abstract

Physical geodesy applies potential theory to study the Earth's gravitational field in space outside and up to a few km inside the Earth's mass. Among various tools offered by this theory, boundary-value problems are particularly popular for the transformation or continuation of gravitational field parameters across space. Traditional problems, formulated and solved as early as in the 19th century, have been gradually supplemented with new problems, as new observational methods and data are available. In most cases, the emphasis is on formulating a functional relationship involving two functions in 3-D space; the values of one function are searched but unobservable, the values of the other function are observable but with errors. Such mathematical models (observation equations) are referred to as deterministic. Since observed data burdened with observational errors are used for their solutions, the relevant stochastic models must be formulated to provide uncertainties of the estimated parameters against which their quality can be evaluated. This article discusses the boundary-value problems of potential theory formulated for gravitational data currently or in the foreseeable future used by physical geodesy. Their solutions in the form of integral formulas and integral equations are reviewed, practical estimators applicable to numerical solutions of the deterministic models are formulated, and their related stochastic models are introduced. Deterministic and stochastic models represent a complete solution to problems in physical geodesy providing estimates of unknown parameters and their error variances (mean squared errors). On the other hand, analyses of error covariances can reveal problems related to the observed data and/or the design of the mathematical models. Numerical experiments demonstrate the applicability of stochastic models in practice.

Fyzikální geodézie aplikuje teorii potenciálu ke studiu gravitačního pole Země ve vesmíru. Mezi různými nástroji nabízenými touto teorií jsou okrajové úlohy zvláště oblíbené pro transformaci nebo pokračování parametrů gravitačního pole v prostoru. Tradiční problémy, formulované a řešené již v 19. století, byly postupně doplňovány novými problémy, jak jsou k dispozici nové pozorovací metody a data. Ve většině případů je důraz kladen na formulaci funkčního vztahu zahrnujícího dvě funkce v 3D prostoru; hodnoty jedné funkce jsou hledány, ale jsou nepozorovatelné, hodnoty druhé funkce jsou pozorovatelné, ale s chybami. Takové matematické modely (observační rovnice) se označují jako deterministické. Protože se pro jejich řešení používají pozorovaná data zatížená chybami měření, musí být příslušné stochastické modely formulovány tak, aby poskytovaly nejistoty odhadovaných parametrů, vůči nimž lze hodnotit jejich kvalitu. Tento článek pojednává o okrajových problémech teorie potenciálu formulované pro gravitační data v současnosti nebo v dohledné budoucnosti využívaná fyzikální geodézií. Jsou shrnuta jejich řešení ve formě integrálních vzorců a integrálních rovnic, jsou formulovány praktické odhady použitelné pro numerická řešení deterministických modelů a představeny související stochastické modely. Deterministické a stochastické modely představují kompletní řešení problémů ve fyzické geodézii poskytující odhady neznámých parametrů a jejich chybových rozptylů (střední kvadratické chyby). Na druhou stranu analýzy chybových kovariancí mohou odhalit problémy související s pozorovanými daty a/nebo návrhem matematických modelů. Numerické experimenty demonstrují použitelnost stochastických modelů v praxi.