Equations of Motion of Mechanical Systems with Switchable Constraints

Abstract

The article deals with a numerical and analytical approach to solvingthe equations of motion, which enables to treat the considered problems with thechange of system structure or number of degrees of freedom without interruptingthe numerical integration process. The described methodology allows effectivelyincorporate switchable constraints in the systems in accordance with their flexiblestructures. The crucial idea is based on the formulation of the resulting differential-algebraic equations into a saddle point system, where the switchable constraintsare represented by a sign matrix with variable rank. In connection with this prop-erty, a pseudoinversion is applied to eliminate algebraic variables and transform theproblem to the first order system of ordinary differential equations. Moreover, thetime independent case leads to linear autonomous systems with non-diagonalizablematrices, as is proved. The relevant numerical scheme is based on Runge-Kuttamethods, that correspond to the power series of the resulting matrix exponen-tial for time independent problems. The methodology presented is illustrated onthe idealized two-mass oscillator with a switchable constraint. The numerical ex-periments performed range from initial stages, through simple transient cases todamped intentional control. The advanced applications can be found in robotics,active and controlled systems, and in the simulations of complex systems in biologyand related areas. Moreover, the methodology can also be applied in the simula-tion of transport systems, especially in relation to vehicle technology, a quarter carsuspension system, a vibration control mechanism, a torsion system with a clutch,and machine balancing and storage should to be highlighted.

Článek se zabývá numerickým a analytickým přístupem k řešení pohybových rovnic, který umožňuje řešit uvažované problémy se změnou struktury systému nebo počtu stupňů volnosti bez přerušení procesu numerické integrace. Popsaná metodologie umožňuje efektivně začlenit přepínatelné vazby do systémů v souladu s jejich flexibilními strukturami. Klíčová myšlenka je založena na formulaci výsledných diferenciálních a algebraických rovnic do sedlového systému, kde přepínatelné vazby jsou reprezentovány znaménkovou maticí s proměnnou hodností. V souvislosti s touto vlastností je aplikována pseudoinverze k eliminaci algebraických proměnných a transformaci problému na systém obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu. Navíc, časově nezávislý případ vede k lineárním autonomním systémům s nediagonalizovatelnými maticemi, jak je prokázáno. Příslušné numerické schéma je založeno na Runge-Kuttaově metodě, která odpovídá mocninné řadě výsledného maticového exponenciálu pro časově nezávislé problémy. Prezentovaná metodologie je ilustrována na idealizovaném dvouhmotovém oscilátoru s přepínatelnými vazbami. Provedené numerické experimenty sahají od počátečních fází, přes jednoduché přechodové případy až po tlumené řízení. Pokročilé aplikace lze nalézt v robotice, aktivních a řízených systémech a v simulacích složitých systémů v biologii a souvisejících oblastech. Metodologii lze dále aplikovat i v simulaci dopravních systémů, zejména ve vztahu k technologii vozidel, systému odpružení čtvrti vozu, mechanismu řízení vibrací, torznímu systému se spojkou,a je třeba zdůraznit vyvažování a skladování strojů.