The radial integral of the geopotential

Abstract

In Newtonian theory of gravitation, used in Earth’s and planetary sciences, gravitational acceleration is standardly regarded as the most fundamental parameter that describes any vectorial gravitational field. Considering only conservative gravitational field, the vectorial field can be described by a scalar function of 3D position called the gravitational potential from which other parameters (particularly the gravitational attraction and the gravitational gradient) are derived by applying the gradient operators. Gradients of the Earth’s gravity potential are nowadays measured with high accuracy and applied in various geodetic and geophysical applications. In geodesy, the gravity and gravity gradient measurements are used to determine the Earth’s gravity potential (i.e., the geopotential) that is related to geometry of equipotential surfaces, most notably the geoid approximating globally the mean sea surface. Reversely to the application of gradient operator, the application of radial integral to gravity yields the gravity potential differences and the same application to gravity gradient yields the gravity differences. This procedure was implemented in definitions of rigorous orthometric heights and differences between normal and orthometric heights (i.e., the geoid-to-quasigeoid separation). Following this concept, we introduce the radially integrated gravity potential (i.e., the geopotential), and provide mathematical definitions of this functional in spatial and spectral domains. We also define its relationship with other parameters of the Earth’s gravity field via Poisson, Hotine, and Stokes integrals. We then discuss prospects of using this functional in gravimetric geophysics in the context of interpreting the Earth’s inner structure. In numerical examples, we demonstrate that the indefinite radial integral of the disturbing potential (i.e., difference between actual and normal gravity potentials) has a spatial pattern that better exhibits a long-wavelength signature of deep mantle than the global geoidal geometry. This finding is explained by the fact that a more detailed spatial pattern attributed mainly to a lithospheric structure is filtered out proportionally with increasing degree of spherical harmonics in this functional. The global geoidal geometry, on the other hand, comprises not only a deep mantle signature but eventually also a gravitational signature of lithosphere, most notably across large orogens, even after applying spectral decompensation or filtering.V Newtonově teorii gravitace, používané v zemských a planetárních vědách, je gravitační zrychlení standardně považováno za základní parametr, který popisuje vektorové gravitační pole. Pokud vezmeme v úvahu pouze konzervativní gravitační pole, lze vektorové pole popsat skalární funkcí 3D polohy nazývanou gravitační potenciál, ze které se další parametry (zejména gravitační přitažlivost a gravitační gradient) odvozují aplikací gradientních operátorů. Gradienty zemského gravitačního potenciálu se dnes měří s vysokou přesností a používají se v různých geodetických a geofyzikálních aplikacích. V geodézii se měření gravitace a gravitačního gradientu používají k určení zemského gravitačního potenciálu (tj. geopotenciálu), který souvisí s geometrií ekvipotenciálních ploch, zejména geoidu globálně aproximujícího střední hladinu moře. Opačně od aplikace gradientního operátoru, aplikace radiálního integrálu na gravitaci dává rozdíly gravitačního potenciálu a stejná aplikace na gravitační gradient dává rozdíly gravitace. Tento postup byl implementován v definicích rigorózních ortometrických výšek a rozdílů mezi normálními a ortometrickými výškami (tj. separace geoidu od kvazigeoidu). V návaznosti na tento koncept zavádíme radiálně integrovaný gravitační potenciál (tj. geopotenciál) a poskytujeme matematické definice tohoto funkcionálu v prostorové a spektrální doméně. Definujeme také jeho vztah s dalšími parametry zemského gravitačního pole pomocí Poissonova, Hotinova a Stokesova integrálu. Poté diskutujeme perspektivy využití tohoto funkcionálu v gravimetrické geofyzice v kontextu interpretace vnitřní struktury Země. V numerických příkladech demonstrujeme, že neurčitý radiální integrál rušivého potenciálu (tj. rozdíl mezi skutečným a normálním gravitačním potenciálem) má prostorový vzorec, který lépe vykazuje dlouhovlnný podpis hlubokého pláště než globální geoidní geometrie. Toto zjištění je vysvětleno skutečností, že podrobnější prostorový vzorec připisovaný hlavně litosférické struktuře je úměrně filtrován se zvyšujícím se stupněm sférických harmonických v tomto funkcionálu. Globální geoidní geometrie na druhou stranu zahrnuje nejen podpis hlubokého pláště, ale nakonec i gravitační podpis litosféry, zejména napříč velkými orogeny, a to i po aplikaci spektrální dekompenzace nebo filtrování.